2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（    ）

A．-1 B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出对应直线的倾斜角即可计算作答.

【详解】因直线的斜率为1，倾斜角为45°，则直线绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，

所以对应的直线斜率为.

故选：A

2．已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.

【详解】由题意，，，可得的中点坐标为，

所以边上的中线长为，

故选：B.

3．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．

【详解】解：，

，

．

故选：B．

4．圆M：与圆N：的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】判断出两圆的位置关系即可得到答案.

【详解】由题意，两圆的标准式分别为，，

则圆心和半径分别为，，

所以，，

则，故两圆相交，一共有2条公切线.

故选：B.

5．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.

【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.

故选：A

6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知数据判断出两两垂直，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用公式求出点B到平面的距离.

【详解】因为，且，，

由勾股定理可知，，，

所以两两垂直，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量为，

则则，即，令可得，

则点B到平面的距离为.

故选：D.

7．已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.

【详解】如图所示：

记圆心到直线：的距离为，则.

因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.

故选：C

8．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.

【详解】

如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，

以为圆心，为半径作圆，

则圆的方程为，

当台风进入圆内，则城市处于危险区，

又台风的运动轨迹为，

设直线与圆的交点为，，

圆心到直线的距离，

则，

所以时间，

故选：C.

二、多选题

9．已知直线：，则下列选项中不正确的有（    ）

A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为

C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为

【答案】ABC

【分析】求出直线的斜率，由斜率分别求出直线的倾斜角和方向向量，即可依次对各选项是否正确进行判断.

【详解】将直线的方程化为斜截式得，即直线的斜率，

对于A，由直线的斜率知，直线的倾斜角为，故选项A不正确；

对于B，直线的斜率，故选项B不正确；

直线的一个方向向量

对于C，，因此与不垂直，故选项C不正确；

对于D，，∴，故选项D正确.

选项中，不正确的有A，B，C三项.

故答案为：ABC.

10．设直线与，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.

【详解】A：时，，，易知，正确；

B：时，，，则，故不成立，错误；

C：时，，则，可得或，

当时，，，两线重合，排除；

所以，由A知：它们的距离，正确；

D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.

故选：ACD

11．若关于x的方程有唯一解，则b的取值可能是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】AD

【分析】将问题转化为、有唯一交点，应用数形结合，由直线与圆的有唯一交点求b的取值范围.

【详解】由题设，即，

问题等价于在上有唯一解，

令表示圆心为，半径为1圆的上半部分，

而表示斜率为的直线，如下图示：

只需、有唯一交点，

当直线与半圆右上部相切时，有，得，此时有唯一交点；

当直线过时，直线方程为，由图知：恒有两个交点；

当直线过时，直线方程为，由图知：恒有一个交点；

综上，或，原方程有唯一解.

故选：AD

12．如图，正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列选项中不正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面截该正方体所得的截面面积为 D．三棱锥的体积为

【答案】ABD

【分析】对于A，可以通过与平面的法向量是否平行进行判断；

对于B，可以通过与平面的法向量是否垂直进行判断；

对于C，连接和，则，，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，求出其面积即可；

对于D，使用空间向量求点到平面的距离，即三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积.

【详解】

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，，∴，

对于A，，与平面的法向量不平行，

∴直线与平面不垂直，故选项A不正确；

对于B，，，

∴与平面的法向量不垂直，

∴直线与平面不平行，故选项B不正确；

对于C，连接和，，∴，

因此，，，四点共面，即平面截该正方体所得的截面为梯形，

直线的单位方向向量，取，

则，

∴点到直线的距离，

∴梯形的面积，

即平面截该正方体所得的截面面积为，故选项C正确；

对于D，易知三角形与梯形等高，

∴，

，

点到平面的距离，即三棱锥的高，

∴三棱锥的体积，故选项D不正确.

综上所述，选项中不正确的有A，B，D.

故选：ABD.

三、填空题

13．直线：被圆：截得的弦长为__________.

【答案】

【分析】先求出圆C的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可.

【详解】圆C的圆心C ，半径 ，

记圆心到直线的距离为，则，

因为圆的半径为，所以直线被圆截得的弦长为；

故答案为： .

14．在直三棱柱中，，，，M是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为__________.

【答案】##

【分析】根据题意结合，求，再利用空间向量求异面直线夹角.

【详解】设，则，，，，，

可得：，，

∵，则，得，

故，，

∴，

故异面直线与夹角的余弦值为.

故答案为：.

15．写出到原点及点的距离分别为2，3的一条直线的方程__________.

【答案】或或

【分析】根据给定条件，求出以原点为圆心2为半径的圆和以点M为圆心3为半径的圆的公切线方程作答.

【详解】到原点的距离为2的直线是以O为圆心2为半径的圆的切线，

到点的距离为3的直线是以M为圆心3为半径的圆的切线，

因此符合条件的直线是圆O与圆M的公切线，而，即圆O与圆M外切，它们有3条公切线，

显然直线与圆O、圆M都相切，且圆O与圆M都在直线及左侧，因此直线是圆O与圆M的一条外公切线，

圆O与圆M的连心线所在直线，则直线关于直线OM对称的直线为两圆的另一条外公切线，

设这条外公切线上任意一点为，则它关于直线OM的对称点必在直线上，设此点为，

因此，消去并整理得：，

则圆O与圆M的外公切线方程为，，

由解得，即圆与圆M相外切于点，

于是得圆与圆M的内公切线方程为，即，

所以所求直线方程为或或.

故答案为：或或

四、双空题

16．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为______，反射光线所在直线在y轴上的截距为_________

【答案】     ；     .

【分析】求出直线的方程，根据直线与的交点即为入射点，联立求出交点坐标即可；然后根据反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，然后根据直线关于直线对称即可求出结果.

【详解】直线的斜率，

所以直线的方程为，即，

则直线与的交点即为入射点，

，解得，故入射点坐标为，

反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，

在直线上任取一点，

设点关于直线对称的点的坐标为，

则，解得，即，

因此反射光线的斜率为，

所以反射光线的直线方程为，即，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知直线：，直线：．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）根据直线平行的条件列式计算即可，平行时要排除重合的情况；

（2）根据直线垂直的条件列式计算即可．

【详解】（1）解：,

,

整理得，

解得或，

当时，与重合，舍去，

故．

（2）解：，

，

，

或．

18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.

(1)用，，表示；

(2)若底面是正方形，且，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；

（2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解.

【详解】（1）解：

；

（2）解：

，

所以

.

19．已知圆经过点，，.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点向圆作切线，求切线方程.

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；

（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.

【详解】（1）设圆的方程为，

则 ,

解得，，，

所以圆的方程为，

故圆的标准方程为.

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，即,

由，解得，

所以切线方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或.

20．如图，在直三棱柱中，，，.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据直棱柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面，平面，所以.

又，，

平面，所以平面.

因为平面，所以.；

（2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，

令，得.

设平面的法向量为，

则，

令，则，

所以.

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21．如图①，在平面多边形ABCDE中，，为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且，沿AD将折起，使得，M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.

(1)证明：；

(2)求直线DE与平面BEM所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用线面垂直的判定定理可得平面，平面，进而即得；

（2）利用坐标法，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量求法即得.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以，又为等腰直角三角形，，

所以，又，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以，

连接AC，MD，由，且，

所以四边形为平行四边形，又，

所以四边形为菱形，

所以，又因为，平面，平面，

所以平面，又平面，

故；

（2）由（1）可知四边形为菱形，

，

因此为正三角形，

因为，，，，

所以AB，AE，AC两两垂直，

如图，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

设直线DE与平面BEM所成的角为，

则，

故直线DE与平面BEM所成角的正弦值为.

22．已知圆：，过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)当直线的斜率为-4时，求的面积；

(2)若直线的斜率为k，直线OA，OB的斜率为，.

①求k的取值范围；

②试判断的值是否与k有关?若有关，求出与k的关系式；若无关，请说明理由.

【答案】(1)

(2)①；②无关，理由见解析

【分析】(1)由题意可得直线的方程为，即可得圆心到直线的距离，，再利用求解即可；

(2)①利用求解即可；

②设，，联立直线与圆的方程由韦达定理可得，，由可得=1，即可得答案.

【详解】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为.

因为圆心到直线的距离，

所以，

所以；

（2）解：直线的方程为.

①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，

得，

即的取值范围是；

②设，，

联立方程组，

得，

所以，.

因为，

所以，

即为定值，与直线的斜率无关.