2022-2023学年广西柳州市高一上学期12月联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西柳州市高一上学期12月联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，解出集合，根据交集运算即可得出结果.
【详解】由题意知，集合对应的不等式解集为，
即，得，
所以，.
故选：C.
2．下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
3．已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数基本公式计算即可.
【详解】由题意得，所以.
故选：A.
4．已知、、，且，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误.
【详解】取，，则，，A、B选项错误；
，，由不等式的基本性质可得，C选项正确；
当时，，则，D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.
5．已知，则函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故选：B.
6．如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分；
当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分，
综上所述：与的函数关系的图象大致是选项D，
故选：D
7．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据）
A．分钟B．11分钟C．分钟D．22分钟
【答案】B
【分析】首先根据初始值，求，再根据不等式，利用指对互化，求的取值范围.
【详解】当时，，解得：，
所以，当，解得，
所以至少需要11分钟.
故选：B
8．已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可
【详解】解：是奇函数，，且在内是增函数，
，且在内是增函数，
因为，所以
①当时，原不等式可化为，又在内是增函数，
所以，
②当时，原不等式可化为，又在区间上是增函数，所以
③当时，，与矛盾，所以不是不等式的解，
综上，的解集是或.
故选：D.
二、多选题
9．与终边相同的角有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可.
【详解】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故选：BCD.
10．下列大小关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】对A，正确；对B，借助中间量可知正确；对C，由换底公式而，所以C错误；对D，借助中间值1即可比较出结果；
【详解】对于A，因为，而是增函数，所以，即，故A正确；
对于B，根据指数函数为单调递减可知，，
又由幂函数为单调递增可知，
所以，故B正确；
对于C，由换底公式可知，
根据对数函数单调性可知， ,
所以，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知，所以，故D正确；
故选：ABD.
11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数可以是某个圆的“太极函数”
D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
【答案】AB
【分析】选项A，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B，函数关于原点中心对称，是圆心在原点的圆O的“太极函数”； 选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆可以让函数将其的周长和面积同时等分；选项D可以通过举出两个反例分别进行说明.
【详解】选项A正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；
选项B正确，函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心在原点的圆O的“太极函数”，故B正确；
选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其的周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”, 故C错误；
选项D错误，函数的图像是中心对称图形，但不是 “太极函数”；反之，如图，函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D错误.
故选：AB．
12．已知函数，若恒成立．则实数的取值可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用数形结合思想，结合函数的单调性和图象的平移分类讨论进行求解即可.
【详解】函数图象如下图所示：

当时，，当时，函数单调递减，有，显然不恒成立；
当时，，
可看做是向右平移个单位，
要使恒成立，即的图象一直在的非下方，
通过平移可发现，只需，显然选项BC符合，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据函数的单调性运用数形结合思想是解题的关键.
三、填空题
13．函数的定义域为________．
【答案】
【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知函数，则______.
【答案】-1
【分析】根据分段函数的定义，可得答案.
【详解】由，则.
故答案为：.
15．若一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】直接由根据开口方向与判别式解不等式即可.
【详解】一元二次不等式对一切实数成立，
，解得：
的取值范围是：
故答案为：．
16．若函数经过点，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为函数经过点，
所以，因为且，所以，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，集合
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析;（1）将的值代入集合中的不等式，确定出，找出的补集，求出补集与的交集即可；
（2）根据为的子集列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围．
试题解析;(1)当，，,
.
（2）①当时，满足,有+1，即
②当时，满足，则有，
综上①②的取值范围为
18．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用，将整理化简可得，再将分子分母同时除以，可得，求解方程即可；
（2）将原式除以1，再将1用替换，分子分母同时除以，可得，将（1）中的值代入即可求出结果.
【详解】（1）解：
，
解得：
（2）解：
19．化简求值（需要写出计算过程）
(1)若，，求的值；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.
【详解】（1），，得
（2）原式
20．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）
【答案】(1)3
(2)方案二更合理，理由见解析
【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.
【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
21．已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明；
(2)解不等式：．
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可；
（2）根据将不等式整理为，然后根据单调性列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）在R上单调递增，证明如下，
令，，，且，
则，
因为，所以，，即，，
所以在R上单调递增.
（2）
，
因为在R上单调递增，所以，整理得，解得或，
所以不等式的解集为.
22．已知函数，（且），的定义域关于原点对称，．
(1)求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，为奇函数
(2)
(3)
【分析】（1）根据的定义域关于原点对称可得，再求解可得判断即可；
（2）根据指数函数的范围逐步分析即可；
（3）参变分离，令，将题意转换为求在上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可.
【详解】（1）由题意，的定义域，即的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故.
此时，定义域关于原点对称，，因为.
故，为奇函数.
（2）由（1），又，故，解得，故，因为，故，故，即的值域为
（3）由（2）的值域为，故关于的方程有解，即在上有解.令，即求在上的值域即可.
因为，当且仅当时取等号，且，，故，故，即的值域为，即实数的取值范围为.