2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高三上学期期中考试 数学（解析版）

牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，，，则（    ）

A  B.  C. 5 D.

3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（    ）

A. 8 B.  C. 2 D.

5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（    ）

A  B.

C.  D.

10. 已知曲线，则下列说法正确有几个（    ）

（1）关于原点对称；

（2）只有两条对称轴；

（3）曲线上点到原点最大距离是1；

（4）曲线所围成图形的总面积小于；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. ，，若，则______．

12. 如图，正六边形的边长为1，______．

13. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．

14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．

15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．

①点到原点的最大距离是4；

②若是等腰三角形，则其周长为10；

③点的轨迹是一个圆；

④的最大值是．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）若在上的值域为，求值．

17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有

（1）求角大小；

（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．

条件①：边上的高为；

条件②：，；

条件③：，．

18. 椭圆．

（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；

（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．

19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．

（1）求椭圆离心率和的面积；

（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．

20. 已知是函数的一个极值点．

（1）求值；

（2）判断的单调性；

（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．

21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．

（1）若，，求能取到的最大值；

（2）若，求证：；

（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．

牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由并集的定义直接求解.

【详解】，，∴.

故选：C

2. 设，，，则（    ）

A.  B.  C. 5 D.

【答案】B

【解析】

【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.

【点睛】因为，，，

所以.

故选：B

3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.

【详解】因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

且双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项A正确；

因为双曲线的焦点在轴上， 

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项B错误；

因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，，

其渐近线方程为，所以选项C错误；

因为双曲线的焦点在轴上，

，，其渐近线方程为，

但双曲线的焦点在轴上，，

其渐近线方程为，所以选项D错误.

故选：A.

4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（    ）

A. 8 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据的关系可得答案.

【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，

因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.

故选：B

5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，利用对数的运算法则检验即可；

对于B，利用指数的运算法则检验即可；

对于C，利用三角函数诱导公式检验即可；

对于D，举反例逐一判断三个等式即可.

【详解】对于A，因为，所以，故A不满足题意；

对于B，因为，所以，故B不满足题意；

对于C，因为，所以，故C不满足题意；

对于D，因为，

所以令，则，故；

令，则，故；

令，则，故；

综上：不满足任何一个等式，故D满足题意.

故选：D.

6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量公式表示出和夹角的余弦值，再讨论夹角为时的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.

【详解】，，

，当时，，即和夹角为,

故是和夹角为的充分不必要条件

故选：A

7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】设出点坐标，并利用点在圆上得出，根据点到直线距离公式表达出距离，利用辅助角公式化简，进而得出的最小值.

【详解】解：由题意，

在圆中，

圆心，半径，

点到直线的距离为

设，

，

，

解得：

在中，

，其中，

∴

当时，d最小，.

故选：C.

8. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.

【详解】.

设，

则,

又，且三点共线，则共线，

即，使得，即，

又不共线，则有，解得，

所以，.

故选：D.

9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据,在上,可得出,再根联立,得到的值,根据缩小的取值范围,进而代入求值即可.

【详解】解:由题知,,

均在上,

,

,

,

故有:,

两等式联立有,

解得,

,

,

,

,

综上选项B正确.

故选:B

10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（    ）

（1）关于原点对称；

（2）只有两条对称轴；

（3）曲线上点到原点最大距离是1；

（4）曲线所围成图形的总面积小于；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】对于（1）（2），代入即可判断曲线的对称情况；

对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；

对于（4），利用（3）中的结论容易判断.

【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；

对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；

对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；

对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；

综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.

故选：C.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. ，，若，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.

【详解】由题意，得，则.

故答案为：1.

12. 如图，正六边形的边长为1，______．

【答案】-1

【解析】

【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可

【详解】由正六边形性质，，

.

故答案为：-1.

13. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数，应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.

【详解】已知，

，

若是奇函数，则即可，

可以取，.

故答案为：（答案不唯一）

14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】画出函数的图象，观察图象即可得到答案.

【详解】如图所示，画出函数的图象.

结合图象可知，

故答案为：.

15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．

①点到原点的最大距离是4；

②若是等腰三角形，则其周长为10；

③点的轨迹是一个圆；

④的最大值是．

【答案】②③④

【解析】

【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离，再根据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值.

【详解】设由中点坐标公式得,

所以,因为在圆上,

所以,即,即,

所以点的轨迹是一个圆,方程为,

是以为圆心,为半径的圆,

所以点到原点的最大距离是,故①错误；

因为，所以,

若为等腰三角形，若,则,

此时三点共线，不满足题意，

若,则,满足题意，

所以的周长等于，故②正确；

由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,

所以③正确；

设，当时，，不是最大角，

不为时，中，

,

当且仅当,即时取得等号，

所以，故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）若在上的值域为，求值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；

（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求值．

【小问1详解】

解：已知

增区间为：

所以，函数的单调增区间为.

【小问2详解】

解：已知，

，

即，

因为，值域为，

.

17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有

（1）求角的大小；

（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．

条件①：边上的高为；

条件②：，；

条件③：，．

【答案】（1）   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）注意到已知等式右边为，可得.

（2）若选择①，结合（1）只能求得b.

若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得.

若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.

【小问1详解】

由题，因.

则，因A为三角形内角，所以A.

【小问2详解】

若选择①，设边上的高为，

则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.

若选择②，由正弦定理及（1），

有.因，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.

若选择③，由正弦定理，及，

则又由余弦定理及（1），

有，

得，.

此时唯一确定，.

综上选择③时，唯一确定，此时的面积为

18. 椭圆．

（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；

（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，，计算得到，根据二次函数的性质得到最值.

（2）过点作轴于，过点作轴于，设，利用相似计算得到答案.

【小问1详解】

设，，则，，

当时，，当时，.

【小问2详解】

如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，

19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．

（1）求椭圆的离心率和的面积；

（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）直线经过定点，理由见详解.

【解析】

【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；

（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，

所以分，，进行讨论找出直线过得点.

【小问1详解】

由题意，椭圆经过点，

可得，解得，

即椭圆，

因为，即，

所以椭圆的离心率为，

又由左顶点为，右焦点为，所以，

所以的面积为

【小问2详解】

由直线与椭圆交于A，B两点

所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点

由  解得：

令，此时

所以

所以直线

即，令

所以直线是经过定点

同理若，则

令

所以直线是经过定点

当时，由直线与椭圆交于A，B两点

设

联立方程组，

整理得，

则，

所以

设点，所以

的方程为，

令，可得

，

所以直线经过定点，

综上可得，直线经过定点.

20. 已知是函数的一个极值点．

（1）求值；

（2）判断的单调性；

（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．

【答案】（1）   

（2）函数在上单调递增，在上单调递减.   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）求导得到导函数，根据计算得到答案.

（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.

（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.

【小问1详解】

，则，

，解得.

，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

故是函数的极大值点，满足.

【小问2详解】

，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

【小问3详解】

，

当，易知，，故.

故，满足条件.

当时，设，故，

故，即，

当时，设，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，故.

，

即可以无限接近.

综上所述：.

【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.

21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．

（1）若，，求能取到的最大值；

（2）若，求证：；

（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．

【答案】（1）33    （2）证明见详解   

（3）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令，根据题意利用反证法证明.

【小问1详解】

∵，则或，

设，即，

当时，则，

故

，

若能取到最大值，则，此时，

若，，则能取到的最大值为.

【小问2详解】

若，则由（1）可得：，

记满足中的i依次为，则

，

∵均为整数，则为偶数，为奇数，

∴为奇数，故.

小问3详解】

记，则有限数列B：，，…，满足对任意，3，…，N成立，

则，

∵，则对，均有，即数列不是常数列，

设数列的最大项为，最小项，则，

反证：假设对，

设满足中的i依次为，则必存在，使得或，

当时，∵，则，这与相矛盾，

当时，∵，则，这与相矛盾，

故假设不成立，即数列B中存在使得，

故数列A中存在使得.

【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；

②已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.