2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市顺义区高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  在平行四边形中，(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知角满足，，则角的终边所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5.  在中，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

7.  函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，如果存在实数，，使得对任意实数，都有，那么的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知是所在平面内一点，，，，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  ______ ．

12.  在平面直角坐标系中，，，则向量 ______ ； ______ ．

13.  若实数满足，则 ______ ．

14.  如图，在的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足，那么 ______ ．

15.  已知，，有下列四个说法：
的一个正周期为；
在上单增；
值域为；
图象关于对称．
其中，所有正确说法的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知复数为虚数单位．
求复数的模；
求复数的共轭复数；
若是关于的方程一个虚根，求实数的值．

17.  本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的单调递减区间．

18.  本小题分
已知向量，．
求；
设，的夹角为，求的值；
若向量，求实数的值．

19.  本小题分
已知函数．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值．

20.  本小题分
在中，，，．
求；
设为边上一点，且，求的面积．

21.  本小题分
对于函数，，，及实数，若存在，，使得，则称函数与具有“关联”性质．
分别判断下列两组函数是否具有“关联”性质，直接写出结论：
，；，；
，；，；
若与具有“关联”性质，求的取值范围；
已知，为定义在上的奇函数，且满足：
在上，当且仅当时，取得最大值；
对任意，有．
求证：与不具有“关联”性质．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．

【解答】

解：复数，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，
．
故选：．
，由此能求出结果．
本题考查向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
的终边在第三，四象限或轴负半轴上，
，
的终边在第二，四象限
综上可知，的终边一定落在第四象限．
故选：．
分别由，，求得的终边的位置，取交集，即可求解．
本题考查了由三角函数的值的正负来判断角的范围，考查了象限角，运用了交集思想，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：把的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
由条件利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：中，若，，，
由正弦定理得，
则．
故选：．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，则，
若，则有，故．
故选：．
根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法计算可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据函数在一个周期内的图象，
可得，，．
再根据当时，，可得，
故有，求得，结合，求得，
故函数，
故选：．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，设与的夹角为，，
，夹角为的两个单位向量，则，
，，
则有；
又由，，
则有，，
则，则．
故选：．
根据题意，设与的夹角为，由数量积的计算公式求出和、，又由，计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对任意实数，都有，
是函数的最小值，是函数的最大值，
则的最小值为．
故选：．
根据不等式恒成立得到是函数的最小值，是函数的最大值，根据三角函数最值之间的关系进行求解即可．
本题主要考查余弦函数的图像和性质，根据条件求出对应的函数的最大值和最小值是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，



，
时，取最大值．
故选：．
根据进行数量积的运算即可求出最大值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

12.【答案】  

【解析】解：，，
，．
故答案为：；．
由向量坐标表示定义直接可得．
本题考查向量的坐标表示，属简单题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则，即，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为，，
则，，，
又因为，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
分别设方向水平向右和向上的单位向量为，，用，表示出，，，再结合向量的线性运算求解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
 

15.【答案】：． 

【解析】解：由于，，
故的一个正周期为，故正确．
当，，，单调递减；
当，，，单调递增，
故在上不单调，故错误．
根据，当时，，可得出它的值域为；
当时，，可得它的值域为，
故值域为，故正确．
由于，
故它的图象关于轴对称，故正确．
故答案为：．
由题意，根据三角函数函数的值域，周期性，奇偶性，方程的根的情况，做出判断．
本题主要考查三角函数的值域，周期性，奇偶性，方程的根的判断，属中档题．
 

16.【答案】解：复数为虚数单位，；
复数为虚数单位，；
是关于的方程一个虚根，，
，，． 

【解析】由复数的模的概念直接求得；
由共轭复数的定义直接得；
将代入方程，即可求得．
本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题．
 

17.【答案】解：由于函数，故的最小正周期为．
对于，令，，
求得，，可得的单调递减区间为，． 

【解析】由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．
由题意，利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．
本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．
 

18.【答案】解：
；
；
，
，解得． 

【解析】根据向量坐标的加法和数乘运算即可求出的坐标；
根据向量夹角的余弦公式即可求出；
根据向量垂直的充要条件即可求出的值．
本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：


，
；
，
，
，
．
，． 

【解析】利用两角和与差的三角函数关系将转化为，将值代入，即可求解．
由，，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得的解析式是关键，属于中档题．
 

20.【答案】解：在中，，，，
，
，
解得或舍；
，
，，
在中，，
，
，
又，
． 

【解析】由余弦定理即可求解；
利用余弦定理得到，进而得到，，利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：，；，；
，
函数与具有“关联”性质，
，；，，
，，
，
函数与不具有“关联”性质；
，，
所以，
则；
证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值，
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，
故的值域为，
，，
当时，，；时，，，
若，则，，时有；
当时，，；时，，，
若，则，，，时有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有“关联”性质． 

【解析】根据具有“关联”性质的定义判断即可；
求解的值域即可得出结果；
根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域得出的范围，即可证明结论．
本题主要考查了新定义问题，考查了函数的性质及学生的逻辑推理能力，属于中档题．