2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列叙述错误的是（    ）

A．

B．集合中的最小数是1

C．方程的解集是

D．与是相同的集合

【答案】B

【解析】通过集合的包含关系判断A，自然数集元素的大小判断B；方程的解判断C；集合的基本性质判断D．

【详解】

解：，满足集合的包含关系，所以A正确；

集合中的最小数是0，不是1，所以B不正确；

方程的解为，所以其解集为，所以C正确；

与是相同的集合，满足集合的基本性质，所以D正确；

故选：B．

【点睛】

此题考查集合的关系，考查集合的元素的特征，属于基础题

2．设，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由不等式的性质及特殊值法逐一判断即可得结论．

【详解】

解：对于A，若，，满足，但，故A错误；

对于B，函数为减函数，若，则，故B错误；

对于C. 由函数在R上单调递增，当时，有，故C正确

对于D，，则，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查幂、指数式大小的比较，考查函数的单调性的应用，属于基础题

3．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.

【详解】

根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.

【点睛】

本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

【详解】

因为，，所以为奇函数，不符合题意；

因为，则，故不是偶函数

因为，，所以为偶函数，但是在上单调递减

，，则为偶函数，且时，单调递增

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了判断函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.

5．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

【详解】

解：∵，∴，即，

∵，∴，即，

∵在上为增函数，且，

∴，即

∴，

故选：A．

【点睛】

此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（      ）

A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度

D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度

【答案】D

【解析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.

【详解】

，为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.

7．已知是函数的一个零点，且，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】判断在上的单调性，从而得出答案．

【详解】

解：∵在上单调递减，在上单调递减，

在上单调递减，

∵，，，

故选：D．

【点睛】

本题考查利用函数的单调性及零点，判断函数值的正负，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力.

8．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则关于的方程有解

B．若，则恒成立

C．若关于的方程有解，则

D．若恒成立，则

【答案】C

【解析】由，结合方程的左右两边的符号可判断A；由绝对值不等式的性质，可判断B；由方程有解的条件，结合绝对值不等式的性质，可判断C；由不等式恒成立和绝对值不等式的性质，可判断D．

【详解】

对于A，若，由于，则关于的方程无解，故A错误；

对于B，若，，

由，时，不成立，可得不恒成立，故B错误；

对于C，由可得，首先当，，等式不成立，

当时，，等式不成立；

若，，可取，则等式成立，故C正确；

对于D，即为，即，当且时，不等式也成立，故D错.

故选：C．

【点睛】

本题考查了含绝对值的函数性质，考查了分类讨论思想和恒成立思想，同时考查了绝对值不等式的性质，有一定的计算量，属于较难题.

二、填空题

9．已知函数的对应关系如表，函数的图象如图所示的曲线，其中，，，则的值为______．

【答案】1

【解析】由函数的对应关系求出的值，结合的图象可得的值．

【详解】

解：根据题意，由的表格可得：，则，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查根据函数的图象和函数列表法表示，求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.

10．函数的定义域_______________；

【答案】

【解析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.

【详解】

由题意得.

【点睛】

本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.

11．若，，且，则的最大值是______．

【答案】2

【解析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．

【详解】

解：∵，，

∴

∴，当且仅当时取等号，即，时取等号

故答案为：2．

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

12．下列说法中：

①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”；

②“对于任意的，总有（为常数）”是“函数在区间上的最小值为”的必要不充分条件；

③若，，则函数满足；

④若，，，则函数满足．

所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）

【答案】②③④

【解析】①直接利用命题的否定判断；

②函数的最小值和必要不充分条件的应用；

③对数的运算关系式的应用；

④根据基本不等式可得答案；

【详解】

①命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故①错误；

②“对于任意的，总有（为常数）”由于没有说明，所以“函数在区间上的最小值为”不一定成立；函数在区间上的最小值为，总有（为常数）成立，故②正确；

③若，，则函数满足，

所以成立，故③正确；

④若，，，，，

因为，所以，故④正确．

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.

三、双空题

13．已知函数，则该函数的单调递增区间为______，若方程有三个不同的实根，则实数的取值集合是______．

【答案】和       

【解析】作出函数，根据图象可得单调递增区间，通过的图象与有三个不同的实根，即可求解实数的取值集合．

【详解】

解：由函数，

作出函数如图所示：

方程有三个不同的实根，即的图象与有三个不同的交点，

故答案为：和；

【点睛】

此题考查函数与方程，考查函数的单调性，考查数形结合的思想，属于基础题

14．设函数，其中．

①若，则______；

②若函数有两个零点，则的取值集合是______．

【答案】       

【解析】①由分段函数的解析式，结合对数和根式的运算性质可得所求值；

②由题意可得有两个不等的实根，据此列出关于的不等式，即可得到所求范围．

【详解】

①，可得，；

②若函数有两个零点，等价为有两个不等的实根．

而和在定义域上都递增，所以有且，所以，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查分段函数的求值以及零点问题，难度一般.（1）求解嵌套的函数值一般由内而外去求解；（2）分析分段函数的零点、单调性时，一定要注意分析分段点处的情况.

四、解答题

15．设集合，．

（Ⅰ）若，求实数的取值集合；

（Ⅱ）若，求实数的取值集合．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由空集的意义知，当且仅当时，集合中无任何元素，解不等式即可得实数的取值范围；

（Ⅱ）根据，得到的取值范围，即可得到结论．

【详解】

解：∵集合，

（Ⅰ）∵，∴，

∴，解得，

（Ⅱ）∵，则集合,所以，则

∴

∴实数的取值集合为．

【点睛】

本题考查解二次不等式，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.

16．求下列式子的值（要求有解答过程）．

【答案】.

【解析】利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

此题考查根式、对数、指数式运算，考查计算能力，属于基础题

17．已知函数（为常数，且，）．

（1）判断的奇偶性并予以证明；

（2）当时，证明：函数在定义域内单调递增；

（3）求使不等式成立的的取值集合．

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析.

【解析】（1）只要检验与的关系即可判断，

（2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断．

（3）结合指数与对数的互化，结合的范围即可求解．

【详解】

解：（1）定义域，，

所以为上奇函数，

（2）证明：

任取，且，

则

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

（2）由可得，所以

所以当时，可得，

当时，可得

综上，当时，

当时，．

【点睛】

此题考查函数奇偶性的判断和函数单调性的证明，考查指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题

18．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内（包括3km）收费都是10元，之后每行驶收费2元，超过15km，每行驶1km收费为3元．

（1）写出付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；

（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．

【答案】（1）；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算．理由见解析.

【解析】（1）由题可知，分三段、和，写出与的函数关系即可；

（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可．

【详解】

解：（1）当时，；

当时，；

当时，

综上所述，

（2）若两人一起换乘一辆出租车，则元，

若两人继续乘这辆出租车，则，

故两人一起换乘一辆出租车更划算．

【点睛】

此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题

19．已知二次函数，其中．

（Ⅰ）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可；

（Ⅱ）根据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对任意的，，，又可求出的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．

【详解】

（Ⅰ），开口向上，对称轴是

∴在递减，则，即，故；

（Ⅱ）因为在区间上是减函数，所以．

因此任意的，，总有，只需即可

解得：，又

因此．

【点睛】

本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.

20．若在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”．

（Ⅰ）请判断函数是否有漂移点？并说明理由；

（Ⅱ）求证：函数在上存在漂移点；

（Ⅲ）若函数在上有漂移点，求实数的取值集合．

【答案】（Ⅰ）没有飘移点，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；

（Ⅱ）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；

（Ⅲ）若函数在上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．

【详解】

（Ⅰ）假设函数有“飘移点” ，则，

即，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点．

（Ⅱ）令（1）

，

所以，（1）．所以（1），

又在连续，

所以在至少有一个实根，

即函数在上存在漂移点；

（Ⅲ）证明：若在上有飘移点，

所以成立，即，，

整理得，

由，，则．

则实数的取值集合是．

本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，属于难题.