2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的导数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  乘积展开后的项数有(    )

A. 项 B. 项 C. 项 D. 项

5.  某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  设等比数列的公比，前项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如果、、、、成等比数列，那么(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  已知函数，下列说法中正确的是(    )

A. 既是的一个零点，又是的一个极小值点
B. 既是的一个零点，又是的一个极大值点
C. 是的一个零点，不是的极值点
D. 既不是的一个零点，也不是的极值点．

10.  在正整数数列中，由开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取；第二次取个连续的偶数，；第三次取个连续奇数，，；第四次取个连续的偶数，，，；第五次取个连续的奇数，，，，；按此规律取下去，得到一个数列，，，，，，，，，，，则这个数列中第个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  在的展开式中，常数项为______用数字作答

12.  一质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度是______ 单位：．

13.  ______ 用数字作答

14.  能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递减”为假命题的一个函数是______ ．

15.  对函数，满足的实数称为的不动点设，其中且有下列四个结论：
当时，函数仅有一个不动点；
当时，函数仅有一个不动点；
当时函数有两个不动点；
当时函数有两个不动点．
其中，所有正确结论的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知满足．
Ⅰ求实数；
Ⅱ求，．

17.  本小题分
已知为等差数列，且，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若满足，求数列的前项和公式．

18.  本小题分
已知函数在点处的切线的方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ求函数的极值．

19.  本小题分
数列的前项和为，且，，，，，．
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ求的通项公式；
Ⅲ设，求的表达式．

20.  本小题分
已知函数，．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若有两个零点，求的取值范围．

21.  本小题分
已知无穷数列满足．
Ⅰ若对于任意，有．
当时，求，；
求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件．
Ⅱ若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据阶乘公式列式计算即可．
本题考查阶乘的计算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：
根据导数的运算公式即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：在数列中，由，，
可知数列是公差为的等差数列，
则．
故选：．
由已知可得数列是公差为的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项．
故选：．
根据分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，
若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，
故不同选法共有种．
故选：．
根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，属于基础题．

根据等比数列的性质，借助公比表示出和之间的关系，易得与间的关系，然后二者相除进而求得答案．
【解答】
解：由于，

；
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：结合图像，在单调递减，
故，且递增，
故，
故选：．
结合函数的图像以及导数的单调性判断即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由、、、、成等比数列，
得到，
解得：或，
又，，
则，．
故选：．
根据等边数列的性质，由已知的数列得到相邻三项，中间一项的平方等于其他两项的积，求出的值及的值．
此题考查了等边数列的性质，属于基础题．学生做题时，要根据完全平方数大于判定出小于，从而把不合题意得值舍去．
 

9.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
易知函数和在上都是增函数，
所以在上是增函数，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取到极小值，没有极大值，
因为，
所以为函数的零点，
综上，既是的一个零点，又是的一个极小值点．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性，再结合特殊点对选项进行判断即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，
前次共取了个数，且第次的最后一个数为，
当时，，故到第次取时取了个奇数，且前次共取了个数，即第个数为，
时，依次为，，，，，，，，
第个数为．
故选：．
由题意找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解．
本题主要考查了归纳推理，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
令得，．
常数项为．
故答案为：．
求出通项，并令的指数为零即可．
本题考查二项式展开式的应用．属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
则，
当时，．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据组合数及组合数公式，计算即可．
本题考查组合数及组合数公式，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：例如函数在上先减后增，在处取得最大值．
故答案为：答案不唯一．
由已知结合基本初等函数的性质即可判断．
本题主要考查了函数的单调性与函数最值取得条件的判断，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，得，即，
所以，
令，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
当时，；时，，
当，即时，函数与只有一个交点，
所以方程只有一个根，
所以方程只有一个根，
所以函数只有一个不动点，故错误；
当，即时，函数与只有一个交点，
所以方程只有一个根，
所以方程只有一个根，
所以函数只有一个不动点，故正确；
当，即时，函数与有两个交点，
所以方程有两个根，
所以方程有两个根，
所以函数有两个不动点，
当，即时，函数与没有交点，
所以方程没有根，
所以方程没有个根，
所以函数没有不动点，
所以当时，可能有两个不动点，也可能没有不动点，故错误；
当时函数可能有两个不动点，也可能没有不动点，故错误，
故答案为：．
令，得，即，则，令，求导分析单调性，极值，则与交点个数为函数不动点个数，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

16.【答案】解：Ⅰ满足，
通项公式为，
，
实数．
Ⅱ根据通项公式为，
可得当时，，当时，． 

【解析】Ⅰ由题意，根据二项展开式的通项公式，求得的值．
Ⅱ由题意，根据二项展开式的通项公式，求得，的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ为等差数列，且，．
，，
；
的通项公式；
Ⅱ，

． 

【解析】Ⅰ求得公差，可求的通项公式；
Ⅱ由，可求数列的前项和公式．
本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前项和，属基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ函数，，
，
函数在点处的切线的方程为，
，，
解得，．
Ⅱ由可得：，
，
令，
解得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时，函数取得极大值，；时，函数取得极小值，． 

【解析】Ⅰ函数，，利用导数运算法则可得，根据函数在点处的切线的方程为，可得，，解得，．
Ⅱ由可得：，，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由，，得，即；
，则；
，则；
Ⅱ由，得，
，得，
由Ⅰ得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式；
Ⅲ数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则． 

【解析】Ⅰ由已知结合数列递推式求，，的值；
Ⅱ由数列递推式可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列，则的通项公式可求；
Ⅲ数列是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式求解．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ已知，，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，在定义域上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
Ⅱ由得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
若函数有两个零点，则，
解得，
故的取值范围为 

【解析】Ⅰ先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求；
Ⅱ结合中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点存在条件的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为，所以当，
数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，
所以，；
若，由于，
所以当，数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，
否则达不到，所以其是充分条件，
若数列的公差为，，可见其是不必要条件，
所以””是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件；
Ⅱ证明：假设，，是数列第一个为项，则，
所以，或，以此类推，可得为整数，显然与已知矛盾
所以数列不含等于零的项． 

【解析】Ⅰ代入计算即可；
若，由于，所以当，数列为递增数列，不能存在降低的部分，否则达不到，若数列的公差为，；
Ⅱ假设为数列的第一个为项，而后进行反证即可．
本题主要考查等差数列的相关性质，分析数列的增减性并利用反证，是解决本题的关键，属中档题．