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    北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题(Word版附解析)
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    北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题(Word版附解析)

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    这是一份北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题(Word版附解析),共15页。试卷主要包含了 复数在复平面内对应的点位于, 在平行四边形中,等于, 在中,若,,,则, 已知向量,,若,则实数等内容,欢迎下载使用。

    2022—2023学年度第二学期期中试卷
    高一数学
    2023.4
    考生须知
    1.本试卷共4页,共两部分,21道小题,满分150分.考试时间120分钟.
    2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.
    3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.
    4.在答题卡上,选择题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
    5.考试结束后,请将答题卡上交.
    第一部分(选择题 共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 复数在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据复数对应的点确定正确答案.
    【详解】复数对应点为,在第一象限.
    故选:A
    2. 在平行四边形中,等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据平面向量减法的三角形法则计算.
    【详解】由平面向量减法的三角形法则,可得.
    故选:B
    3. 若且,则角所在象限是( )
    A. 第一象限 B. 第二象限
    C. 第三象限 D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据三角函数的正负,确定角所在的象限.
    【详解】,则角在第三,四象限,,则角在第二,四象限,
    所以满足且,角在第四象限.
    故选:D
    4. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )
    A. 向左平移个单位长度
    B. 向右平移个单位长度
    C. 向左平移个单位长度
    D. 向右平移个单位长度
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.
    【详解】对于A,向左平移个单位长度得,故A错误;
    对于B,向右平移个单位长度得,故B错误;
    对于C,向左平移个单位长度得,故C正确;
    对于D,向右平移个单位长度得,故D错误;
    故选:C.
    5. 在中,若,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用正弦定理列式计算即可.
    【详解】由正弦定理可得,,
    所以,解得.
    故选:A
    6. 已知向量,,若,则实数( )
    A. 3 B. 6 C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用向量共线的条件即可求解.
    【详解】由题意,
    因为,所以,解得.
    故选:D.
    7. 函数在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为( )

    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据图象,先确定以及周期,进而得出,分类讨论,结合求出,从而求得函数解析式.
    【详解】因为,根据图像易得,
    因为,所以,所以,则,
    当时,,
    由得,
    所以,即,,
    因为,所以,
    所以;
    当时,,
    由得,
    所以,即,,
    因为,所以,
    所以;
    综上:,故A正确.
    故选:A
    8. 若,是夹角为的两个单位向量,则与的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用向量的数量积公式及其运算法则即可得解.
    【详解】因为,是夹角为的两个单位向量,
    所以,
    所以,
    ,,
    故,
    又,则.
    故选:C.
    9. 已知函数,如果存在实数,使得对任意实数x,都有,那么的最小值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由题意分析可知为的最小值,为的最大值,故最小值为半个周期,由此得解.
    【详解】因为的周期,
    又由题意可知为的最小值,为的最大值,
    所以的最小值为.
    故选:B.
    10. 已知P是所在平面内一点,,,,则的最大值是( )
    A. 3 B. 2 C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由所以,再利用数量积的几何意义求解.
    【详解】解:因为,,,
    所以,

    所以的最大值是-3,
    故选:D
    第二部分(非选择题共110分)
    二、填空题共5道小题,每题5分,共25分,把答案填在答题卡上.
    11. ______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.
    【详解】.
    故答案为:.
    12. 在平面直角坐标系中,,则向量______;______.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】利用平面向量运算与模的坐标表示求解即可.
    【详解】因为,
    所以,
    则.
    故答案为:;.
    13. 若实数b满足,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据复数的乘法运算化简,根据复数相等即可求解.
    【详解】,
    所以,即.
    故答案为:.
    14. 如图,在的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足,那么______.

    【答案】1
    【解析】
    【分析】可作单位向量,从而可用表示向量,根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组,求解即可.
    【详解】如图所示,作单位向量,

    则,,
    所以.
    又,所以,
    所以,解得,
    所以.
    故答案为:1.
    15. 已知,.有下列四个说法:
    ①的一个正周期为;②在上单增;
    ③值域为;④图象关于对称.
    其中,所有正确说法的序号是______.
    【答案】①③④
    【解析】
    【分析】利用三角函数的性质:周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.
    【详解】对于①,因为,所以①正确;
    对于②,当时,,此时,
    又,所以在单调递增,
    因为,为偶函数,
    所以在单调递减,故②错误;
    对于③,因为,
    所以值域,故③正确;
    对于④,因为
    ,所以图象关于对称.
    故答案为:①③④.
    三、解答题共6道题,共85分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    16. 已知复数(i为虚数单位).
    (1)求复数的模;
    (2)求复数的共轭复数;
    (3)若是关于方程一个虚根,求实数的值.
    【答案】(1);
    (2);
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据复数的模长公式计算;
    (2)根据共轭复数的定义即可得答案;
    (3)根据题意,将复数代入方程可得,化简计算即可得的值.
    【小问1详解】
    根据复数的模长公式可得,
    【小问2详解】
    根据共轭复数的定义,复数的共轭复数为
    【小问3详解】
    由题意,,
    则,得,
    所以实数的值为
    17. 已知函数.
    (1)求的最小正周期;
    (2)求的单调递减区间.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)先利用辅助角公式化简,再利用三角函数的周期公式即可得解;
    (2)利用整体代入法,结合三角函数的单调性即可得解.
    【小问1详解】
    因为函数

    所以,
    故的最小正周期为.
    【小问2详解】
    因为,在上单调递减,
    令,得,
    所以的单调递减区间为.
    18. 已知向量.
    (1)求;
    (2)设夹角为,求的值;
    (3)若向量,求实数值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)直接利用坐标计算即可;
    (2)直接利用向量的夹角公式计算即可;
    (3)先求出的坐标,再由,得列方程求解即可.
    【小问1详解】
    因为向量,
    所以,
    【小问2详解】
    因为向量,的夹角为,
    所以,
    【小问3详解】
    因为向量,
    所以,
    因为,
    所以,解得
    19. 已知函数.
    (1)求的值;
    (2)求在区间上的最大值和最小值.
    【答案】(1)
    (2);
    【解析】
    【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简,从而可得的值;
    (2)由得,从而结合正弦函数的性质即可得解.
    【小问1详解】
    因为

    所以.
    【小问2详解】
    由,可得,
    所以当,即时,取得最大值;
    当,即时,取得最小值.
    20. 在中,,,.

    (1)求;
    (2)设为边上一点,且,求的面积.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据余弦定理列方程即可求解;
    (2)根据正弦定理求出,由同角三角函数的基本关系求出,在中求出,根据及三角形面积公式即可求解.
    【小问1详解】
    由余弦定理可得,
    化简可得,解得或(舍).
    【小问2详解】
    因为,所以,
    在中,由正弦定理可得,即,解得.
    易知为锐角,所以,,
    因为,所以在中,.
    根据三角形面积公式可得,
    ,
    所以.
    21. 对于函数,,,及实数m,若存在,,使得,则称函数与具有“m关联”性质.
    (1)分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质,直接写出结论;
    ①,;,;
    ②,;,;
    (2)若与具有“m关联”性质,求m的取值范围;
    (3)已知,为定义在R上的奇函数,且满足:
    ①在上,当且仅当时,取得最大值1;
    ②对任意,有.
    求证:与不具有“4关联”性质.
    【答案】(1)①有;②没有;
    (2);
    (3)证明过程见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.
    (2)求解的值域即可得出结果.
    (3)根据的性质求出其值域,结合三角函数的值域推理作答.
    【小问1详解】
    ①存在,,使得,
    所以函数具有“2关联”性质;
    ②,,而,,
    因此,,显然不存在,,使得,
    所以函数不具有“2关联”性质.
    【小问2详解】
    ,,则,,
    所以m的取值范围是.
    【小问3详解】
    因为在上,当且仅当时,取得最大值1,
    又为定义在上的奇函数,则在上,当且仅当时,取得最小值,
    由对任意,有,即关于点对称,
    又,于是函数的周期为,因此的值域为 ;

    ①当时,,而时,,
    若,则时,有;
    ②当 时,,而时,,
    若,则时,有,显然,
    因此,即不存在,使得 ,
    所以与不具有“4关联”性质.
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