2023-2024学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．经过两点的直线的斜率是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式即可求出.
【详解】经过两点的直线的斜率是.
故选：B.
2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）．
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
故选：A
3．已知圆与圆外切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.
【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：，可得.
故选：D.
4．已知方程表示圆，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知，再根据题意即可列出不等式，最后通过计算得出结果．
【详解】由圆的一般式方程可得即，解得，故选C．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程想要表示圆，则需要满足，是简单题．
5．设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
6．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.
【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，
所以AB的中点坐标为，且，
故以线段AB为直径的圆的方程为，即
故选：B.
7．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．
【详解】由题得方程可化为，
所以
所以焦点为
故选：A.
8．在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，所以,
，所以
所以
所以,
故选：D.
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，
则点A到平面的距离.
故选：C
10．已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组即得解.
【详解】联立解得，
由直线与的交点在第四象限可得，
解得，即实数的取值范围为．
故选：C．
二、填空题
11．已知向量，，则 ．
【答案】
【解析】将向量相加求模即可.
【详解】由题，
所以.
故答案为：.
12．已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|= ．
【答案】2
【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．
【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）
圆心到直线的距离，则直线经过圆的圆心，
所以弦长|AB|=2r=2．
故答案为：2．
13．点关于直线的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】设点，根据线段的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点的坐标.
【详解】设点是点关于直线的对称点.
由已知直线的斜率为1，所以，
解得，所以点.
故答案为：.
14．点到直线的最大距离为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知：直线过定点，由条件可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】因为直线方程可化为，
不论取何值，直线都过，即点，
由题意可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，由两点间距离公式可得：
，
故答案为：.
15．关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.
【详解】曲线，
则时，，
时，，
时，，
当时，，
由此画出曲线的图象如下图所示，
由图可知：
曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.
曲线围成的面积是，②错误.
曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确
曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即，
所以④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题
16．已知的顶点为，，，求：
(1)边AC上的中线所在直线的方程；
(2)边AC上的高所在直线的方程；
(3)边AC的垂直平分线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据中点坐标公式得到，然后根据点斜式求直线方程即可；
（2）根据两直线垂直时斜率相乘为-1得到边上高的斜率为-2，然后写直线方程即可；
（3）由（1）（2）得的垂直平分线的斜率为-2，过点，然后写直线方程即可.
【详解】（1）设中点为，所以，即，
所以，直线：，即，
所以边上的中线所在的直线方程为.
（2）由题意得，所以边上高的斜率为-2，
所以边上高所在直线的方程为：，即.
（3）由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，
由（1）得的垂直平分线过点，
所以的垂直平分线的方程为：，即.
17．已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若.求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
【详解】（1）当a=1时，，
所以两直线的距离为；
（2）若，
则，
解得；
（3）原点到直线的距离为
，
当时，
18．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的一般式方程；
(3)求过点与圆相切的直线方程.
【答案】(1)；
(2)和；
(3)和.
【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程.
（2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程.
（3）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切可得，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，
所以，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆C的方程为．
（2）当斜率存在时，设直线l为，整理得，
则圆心到直线的距离，①
又因为，解得，②
由①②解得：，
所以直线方程为，整理得；
当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离，
所以其弦长为，符合题意.
综上，所求直线方程为和.
（3）当斜率存在时，设直线l为，整理得，
则圆心到直线的距离，解得：，
所以直线方程为，整理得；
当斜率不存在时，直线为；
综上，所求直线方程为和.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点

(1)求证：
(2)求直线与平面所成角的正弦值
(3)求平面与平面的夹角的余弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；
（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；
（3）利用面面角的向量求法进行求解即可；
【详解】（1）因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.

则、、、、、，
所以，，
所以，
所以，得证；
（2）设平面的法向量为，，，
由，取，可得，又，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
21．已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.
(1)当的坐标为时，求的坐标；
(2)求点的轨迹方程；
(3)求的最小值与最大值.
【答案】(1)或
(2)
(3)的最小值为，最大值为
【分析】（1）分析可知点的横坐标为，将代入圆的方程，可求得点的坐标；
（2）分析可知，利用两点间的距离公式、勾股定理化简可得出点的轨迹方程；
（3）利用圆的几何性质求出的最小值和最大值，结合可求得结果.
【详解】（1）解：由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为，
将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或.
（2）解：设点，因为，为的中点，则，
连接，则，且，
所以，，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
（3）解：因为，则点在圆内，
记圆的圆心为，半径为，则，
则，即，
所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值，
当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值，
所以，.
因此，的最小值为，最大值为.