高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式课后练习题

第3讲 不等式与基本不等式 期末大总结

目  录  速  览

第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：不等关系和不等式性质

必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值

必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题

必会题型五：基本不等式综合问题

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．实数‍a，b‍大小的比较

；；

2．性质‍‍传递性‍‍：如果‍‍且‍那么‍‍

3．性质‍‍可加性‍‍：‍如果‍那么‍‍

4．性质‍‍可乘性‍

‍如果‍‍那么‍

‍如果‍‍那么

5．性质‍4(‍同向可加性‍)‍：如果‍那么‍．

6．性质‍5(‍同向同正可乘性‍)：

‍如果‍‍那么‍

‍如果‍‍那么‍

推论‍‍正数乘方性‍‍当‍‍时其中‍

‍7．性质‍6(‍正数开方性‍)：‍当‍‍时‍其中‍

8．基本不等式

‍当且仅当‍‍时，等号成立．

这个不等式称为基本不等式，其中，‍‍称为‍‍的算术平均值‍称为‍‍的几何平均值．‍因此，基本不等式又称为均值不等式．

10．当‍‍均为正数时，下面的命题均成立：

(1)‍若‍‍为定值‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最大值‍

(2)‍若‍‍为定值‍‍则当且仅当‍‍时，‍‍取得最小值‍．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：不等关系和不等式性质

1．(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一阶段练习)下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】利用不等式性质，作差法及特殊值法即可判断四个选项．

【解析】对于A，，∵，∴，，∴，即，故A正确；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，当时，满足，但是不成立，故C错误，

对于D，取，，，，则，故D错误．

故选：A．

2．[多选](2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)下列结论中不正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质判断选项A；求得不等式的解判断选项B；举反例否定选项C；求得不等式的解判断选项D．

【解析】选项A：若，则，则．判断正确；

选项B：若，则或或．判断错误；

选项C：令，，则．判断错误；

选项D：若，则，则．判断正确．

故选：BC

3．[多选](2022·山东青岛·高一期中)对实数a，b，c，下列说法正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若则 D．恒成立

【答案】AD

【分析】由不等式的性质可判断A；取特值可判断B，C；作差判断D．

【解析】对于A，若，则，故A正确；

对于B，若，，则，则，故B不正确；

对于C，若，满足，，则C不正确；

对于D，，所以，

故D正确．

故选：AD．

4．(2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习)(1)若，求的取值范围；

(2)已知，，求的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【分析】(1)根据不等式的性质计算可得．

(2)设，整理后利用系数相等求得与的值，再由已知结合不等式的性质求解．

【解析】(1)因为，

即，，所以，

所以，

又，所以，即．

(2)设，

，解得，．

，，

，，

则．

的取值范围是．

必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值

1．(2022·北京市昌平区前锋学校高一期中)已知，则的最小值是(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】利用均值不等式求解即可．

【解析】由题意，，故，

根据均值不等式，，

当且仅当，即时等号成立．

故的最小值是5．

故选：D

2．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知，那么的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得，可所求式子，再次利用基本不等式可求得结果．

【解析】，，，

(当且仅当且，即，时取等号)，

的最小值为．

故选：B．

3．(2022·海南·海口中学高一期中)当时，则的最大值为______．

【答案】

【分析】对代数式形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案．

【解析】由题意，，故

当且仅当，即时，等号成立．

故答案为：

4．(2022·浙江·高一期中)若，则的最小值是__________

【答案】

【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值．

【解析】因为，所以，，

所以

，

当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

5．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知正实数满足：．

(1)求的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)25

(2)11

【分析】(1)利用均值不等式可得，令，转化为二次不等式求解即可；

(2)转化原式为，则，结合均值不等式，即得解．

【解析】(1)正实数

令，则，原不等式可化简为：

解得(舍)或，即

当且仅当即取得“”

的最小值为25

(2)由得，即

由正实数，得

当且仅当取得“”

的最小值为11．

必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

1．(2023·四川资阳·模拟预测)已知a，b均为正数，且，则的最小值为(    )

A．8 B．16 C．24 D．32

【答案】B

【分析】根据“1”的变形技巧及均值不等式求解即可．

【解析】因为a，b均为正数，且，

所以，

当且仅当时，即时等号成立，

故选：B

2．(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)若正实数x，y满足，则(    )

A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9

【答案】B

【分析】根据条件将化为，所以可看成，化简后利用基本不等式求出式子的最小值即可．

【解析】由得，

则，

当且仅当时等号成立，

故有最小值9．

故选：B．

3．(2022·四川成都·高二期中)已知，，且，则当取最小值时，=______．

【答案】

【分析】变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案．

【解析】，

当，即，时等号成立，此时．

故答案为：

4．(2022·上海市松江二中高一期中)已知，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】先判断得每一项均为正，然后利用两个分布的关系得，利用均值不等式计算即可．

【解析】因为，所以， ，显然，，所以，当，即时，等号成立，所以 ，所以的最小值为．

故答案为：

5．(2022·上海交通大学附属中学浦东实验高中高一期中)已知，，．

(1)求的最小值；

(2)求的最大值；

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)首先根据，可得，然后使用基本不等式 “1”的妙用进行求解最值即可．

(2)首先先将原式平方，然后利用基本不等式求解最大值即可．

【解析】(1)，，，

，

，

当且仅当，即时等号成立．

的最小值为．

(2)，

当且仅当，即，时等号成立，

，

故的最大值为．

必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题

1．(2022·江苏省奔牛高级中学高一阶段练习)实数a，b，c满足，，，则的最小值为(    )

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可．

【解析】，，

，，

，

当且仅当，即时等号成立，

的最小值为1，

故选：B

2．(2022·江苏·星海实验中学高一期中)若正实数，，满足，则的最大值为(    )

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】利用等式变形构造基本不等式即可得所求得最大值

【解析】由正实数，，满足

所以

即

所以

当时取到等号，

所以最大值为：4

故选：C．

3．[多选](2022·江苏省扬中高级中学高一期中)已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是(    )

A． B．

C．的最大值为1 D．的最小值为

【答案】AC

【分析】由，代入用基本不等式求得最小值，得结论判断A，此处条件代入已知得可判断B，判断AB过程中两个结论代入后利用二次函数性质求得最值判断CD．

【解析】∵正实数满足，

∴，当且仅当，即时等号成立，A正确；

时，，B错；

，，即时，的最大值1，C正确D错误．

故选：AC．

4．(2022·江苏南通·高一期中)若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用分离常数法，易得，结合拼凑法和基本不等式可得，进而得解．

【解析】不等式对一切恒成立，

，，

对一切恒成立．

而 ，

当且仅当，即时等号成立，．

故选：

5．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知正实数x、y满足．

(1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值；

(2)若的最小值为9，求a的值．

【答案】(1)8，，

(2)2

【分析】(1)利用基本不等式求最小值即可；

(2)利用基本不等式得到，然后列方程，解方程即可．

【解析】(1)，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8，此时，，．

(2)由得，则，所以，令，则，解得或－4(舍去)，所以，

当时，，解得，所以时，取得最小值9，满足要求，

所以．

必会题型五：基本不等式综合问题

1．(2022·辽宁·高三期中)若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为(    )

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可．

【解析】因为x＋2y＋xy＝7，

所以，

所以．

因为，则

所以，

当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，

所以x＋y的最小值为3．

故选：D

2．[多选](2022·陕西·西安南开高级中学高一期中)下列命题中，正确的是(    )

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABC

【分析】结合基本不等式、差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案．

【解析】①，，

当且仅当时等号成立，①正确．

②，，，

当且仅当时，等号成立，②正确．

③，，

当时等号成立，所以，③正确．

④，，如，则，所以④错误．

故选：ABC

3．(2022·上海·高一专题练习)若，，且，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质及基本不等式可判断A、C项，对于D举出反例即可，通过“1”的代换，可证明B项．

【解析】因为，，所以，

又，所以，，所以，，A错误；

根据基本不等式，，当x = y =2时等号成立，C错误；

令，则，D错误；

对于B项，，则，

则，当x = y =2时等号成立，B项正确．

故选：B．

4．[多选](2022·山东济南·高一期中)若正实数a，b满足，则下列说法正确的是(    )

A．最大值为 B．最小值为

C．ab最小值为 D．最小值为

【答案】ABD

【分析】对A，B，C选项，结合基本不等式进行求最值即可；D选项将等式构造变形为与相乘化成能用基本不等式的形式即可．

【解析】对A选项：由 ，，则，

当且仅当时等号成立，故A正确；

对B选项；，

当且仅当时等号成立，故B正确；

对C选项；因为，，所以

当且仅当时等号成立，故C不正确；

对D选项；因为，，

所以

当且仅当时等号成立，故D正确；

故选：ABD．

5．[多选](2021·江西省遂川中学高一阶段练习)下列结论中，所有正确的结论是(    )

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为4

D．若，，，则的最小值为

【答案】BC

【分析】A选项，由，则，将构造出不等式的形式

B选项，，并且，所以，并且，等式化“1”，然后利用基本不等式，C选项，由，，，以及，构造出关于的二次不等式解之分析，D选项，由，，，配凑，然后等式化“1”，构造基本不等式．

【解析】选项A：由，则，

又，

当且仅当时等号成立，故A错误；

选项B：，并且，

所以，并且，

则

，当且仅当时，

即时等号成立，故B正确；

选项C：由x，，，即，

即

解得

当且仅当时，有最大值4，故C正确

选项D：若，，，

则，

所以

，

当且仅当时取等号，故D错误；

故选：BC．

6．(2022·浙江杭州·高一期中)已知a，b为正实数且，求下列式子的最值

(1)求的最大值;

(2)求的最小值;

(3)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)9

【分析】(1)利用不等式计算即可；

(2)根据基本不等式“1”的用法，将小问中分母与构造为相乘可约的形式；

(3)根据化简式子，再根据不等式求出最小值．

【解析】(1)

当且仅当取到最大值

(2)

当且仅当，时取到最小值

(3)

当且仅当时取到最小值9

7．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元．

(1)试求关于的函数解析式；

(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用．

【答案】(1)

(2)正面长度为8米,两侧长度为4米,建造费用最低,最低20000元．

【分析】(1)首先得到正面长度为米，根据题意写出总价即可．

(2)，利用基本不定式即可求出最值．

【解析】(1)因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得

(2)，

当且仅当，即时等号成立，此时在内，，

故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元．

8．(2022·山东德州·高三期中)第二届中国(宁夏)国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外．已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元．若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，

(1)写出年利润(万元)关于年产是(万箱)的函数解析式(利润销售收入成本)；

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元

【分析】(1)分和两种情况讨论，根据利润销售收入成本得到函数解析式；

(2)根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解．

【解析】(1)解：当时，，

当时，，

故；

(2)解：当时，，

对称轴为，开口向下，故，

当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

因为 ，

所以当时，利润最大，最大值为万元，

故年产量为万箱时，该公司利润最大，最大利润为万元．