2023年高考数学 7.4 空间距离（精讲）（提升版）（解析版）

7.4 空间距离（精讲）（提升版）

考点一 点线距

【例1】（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，，

取AC的中点O，则，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

所以在上的投影的长度为，

故点C到直线的距离为：.

故选：D

【一隅三反】

1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知，得，，，

，，

所以在上的投影为，

所以点到直线的距离为故选：B

2．（2022·山东）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．

【答案】

【解析】由题意，点和，可得，且，

所以点到直线的距离是.

故答案为：.

3．（2022云南）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面ABC；

(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．

【答案】(1)见解析(2)

【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，

由，，所以所以平面ABC；

平面,所以平面平面ABC；

(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

所以

设可得，

设平面的法向量为则

即取

所以因为为平面ABC的一个法向量，

设平面与平面ABC夹角为，

解得，所以

所以点M到直线距离

考点二 点面距

【例2-1】（2022·哈尔滨）在长方体中，，，则点到平面的距离等于_____.

【答案】

【解析】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

点到平面的距离：．

故答案为：.

【例2-2】（2022·河北廊坊）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】设点E到平面的距离为h，

因为点E是棱的中点，

所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，

又平面过的中点，

所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，

由等体积法，

所以，

，，

在中，，

所以，

则解得，

即点E到平面的距离为.故选：B.

【一隅三反】

1.（2022·江苏常州）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，

设平面的法向量，则，令，解得，

故点到平面的距离为.

故选：A.

2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取中点为,四边形是边长为2的正方形，，

则，，

由题知，平面平面，且交线为，.且平面，

则平面，又平面，所以，

在中，，

是等边三角形，则，

则在中，，

设点到平面的距离为，

则，即，即：，解得：，

即到平面的距离为．故选：D．

3．（2022·内蒙古）如图，在长方体中，四边形是边长为2a的正方形，AD＝2AB.

(1)若长方体的表面积为200，求a的值；

(2)若a＝1，求点到平面的距离h.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）因为在长方体中，四边形是边长为的正方形，.所以长方体的表面积为，所以，解得；

（2）因为，由已知得，，连接，，在三棱锥中，，由长方体的性质知，点到平面的距离为，在中，由勾股定理知，由长方体的性质知，，所以的面积，因为点到平面的距离为，又所以，所以，解得.

考点三 线线距

【例3】（2022·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系

则

设直线与的公垂线的方向向量为则

不妨令又

则异面直线与之间的距离故选：D

【一隅三反】

1．（2022·山东）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，则，，

设和的公垂线的方向向量，

则，即，令，则，

，.故选：D.

2．（2022·江苏）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

，，

设与的公垂线的一个方向向量为，

则，取，得，，即，

又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．

3．（2022·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短

设，，

则，

，

，，

即，

，即，

，

，

，

当时，取得最小值，

故直线与之间的距离是.

故选：B.

考点四 线面距

【例4-1】（2022·湖南）在长方体中，M、N分别为、AB的中点，AB＝4，则MN与平面的距离为______．

【答案】2

【解析】连接，

在长方体中，M、N分别为、AB的中点，

则，则四边形为平行四边形，则

又平面，平面，则平面

又平面，则即为直线MN与平面的距离

又，则直线MN与平面的距离为2.

故答案为：2

【例4-2】（2022广西）如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.

(1)求证:平面;

(2)求到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）证明：∵在底面上的射影为的中点，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．

（2）解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，∵是的中点，∴，∴，，，，∴，，设平面的法向量，则，，取，，到平面的距离．，平面，平面       平面，到平面的距离等于到平面的距离.

【一隅三反】

1．（2022·江西省）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：

(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.

(2)点D1到直线AC的距离.

(3)直线AB与面A1DCB1的距离.

【答案】(1)2(2)(3)

【解析】(1)因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即

(2)连接，由题意，，，.因为为等腰三角形，故，设点D1到直线AC的距离为 ，则，解得，即点D1到直线AC的距离为

(3)连接，交于，因为长方体中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直线AB与面A1DCB1的距离为.

2．（2022·上海市控江中学）如图，在长方体中，，，.

(1)求直线与平面所成的角的大小；

(2)求直线到平面的距离.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)在长方体中， 平面,

即 平面，则 即为直线与平面所成的角，

由于，，故，

即直线与平面所成的角为；

(2)在长方体中，

由于 ,故四边形是平行四边形，

故，而平面，平面，

故平面，则点B到平面的距离即为直线到平面的距离.；

而 ,

故 ,

设点B到平面的距离为h，

则,即 ,

则 ，

即直线到平面的距离为.

3．（2022·北京）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点．

(1)求证：平面；

(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；

(3)求EF到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)

【解析】(1)连接，由正方体的性质知：，所以四边形是平行四边形，所以

，又因为在三角形中，，平面，平面，平面.

(2)取的中点，则满足平面，证明如下：

连接交于，连接，，，，，，

则，，，，

∴在中，由，得，

∴在中，由，得，

∴在中，由，得，

∴在中，，，

又∵，，平面，

∴平面

(3)平面，又因为平面，为交的交点，所以EF到平面的距离即为，由（2）知

考点五 面面距

【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量，则，

即，解得，故，

显然平面平面，

所以平面与平面之间的距离．

【例5-2】（2022·广东揭阳）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的距离．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面平面，

又，平面平面，平面，

平面，

又平面，

，

，

在和中，，

，即，

又，平面

平面．

(2)解：由题意知，

在中，，

又，，

平面，平面，

平面，

、分别为、的中点，

，又，

，

平面，平面，

平面，

平面，平面，，

平面平面．

平面，平面平面，

平面，

为平行平面与之间的距离，

，

即平面与之间的距离为．

【一隅三反】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正方体的性质，∥,∥，，，

易得平面平面，

则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．

以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，．

连接，由，，且，可知平面，

得平面的一个法向量为，

则两平面间的距离．

故选：D

2．（2022·福建厦门）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.

(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；

(2)求平面与平面的距离.

【答案】(1)答案见解析(2)

【解析】(1)连接，由正方体性质可得，；

又，所以平面平面；

因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面.

(2)由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；

设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为；

由可得，解得.

所以平面与平面的距离为.

3．（2022·江西省）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.

(1)证明：平面EB1D1平面FBD；

(2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)若为中点，连接，又F是CC1的中点，

所以，，故为平行四边形，

所以，又E是AA1的中点，易知：，

所以，

正方体中，而，面，

由面，则面，同理面，

又，面，故平面EB1D1平面FBD；

(2)由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，

而，而，，故△中BD的高为，

所以，

而，到面的距离，

所以，可得，

故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为.