2023年高考数学 7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份2023年高考数学 7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）（解析版），共17页。试卷主要包含了柱锥台表面积，柱锥台的体积，球的体积与表面积，空间几何的截面等内容，欢迎下载使用。
7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）考点一 柱锥台表面积【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（       ）A． B． C．32 D．16【答案】A【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(       )A．  B．  C．  D．3【答案】A【解析】如图，，，，则，设，，则，，则，∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，所以顶点到底面圆圆心的距离为：，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，所以.故选：A.2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（       ）A．16m B．17m C．18m D．19m【答案】A【解析】底面直径为40m，高为10m的圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为，设二宜楼外层圆柱墙面的高度为，则由，解得因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为，故选：A3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：C考点二 柱锥台的体积【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，所以点到平面的距离，为球的直径，点到平面的距离为，此棱锥的体积为，故选：A．【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（       ）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D.【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,设四面体A-BCD的高为h，则,由于，故 ,则,设，则,所以，当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，故选：C【一隅三反】1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为，设到平面的距离为，则.又，故故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（       ） A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为故选:C4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.考点三 球的体积与表面积【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图.设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，圆柱的高，圆柱的侧面积为，当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．【一隅三反】1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上，设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，设正三棱锥的内切球的半径为，则，故，平面，平面，，易知，则，所以，，故，所以，，由勾股定理可得，所以，正三棱锥是边长为的正四面体，因此，正三棱锥的表面积为.故选：B.2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为∽，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B. 考点四 空间几何的截面【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（       ）A． B． C．3 D．2【答案】D【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，故底面圆周长为，底面圆的半径为.由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.故选：D【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（       ）A．球与圆柱的表面积之比为B．平面DEF截得球的截面面积最小值为C．四面体CDEF的体积的取值范围为D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【答案】BCD【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；过作于，则由题可得，设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，则，，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，又，所以，故C正确；由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，设，则，，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【一隅三反】1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（       ）A．15 B． C． D．8【答案】D【解析】若圆锥母线长为，底面半径为，则，故，又，故，而，则，可得，所以，若截面顶角，当截面为轴截面时，此时，又截面面积为，故当时截面面积的最大值为8.故选：D2．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高为，则切割面的面积为______；若圆台的高为，则切割面的面积为______.【答案】     2     【解析】解法一：如图，将圆台补成圆锥PO，设圆台的上、下底面半径分别为r，R，高和母线长分别为h，l，则.因为等腰梯形ABCD为过两条母线的截面，设.，则，得，则.①若，则，，当时，切割面的面积最大，最大面积；②若，则，，当时，切割面的面积最大，最大面积. 解法二：如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为O，过两条母线的截面为四边形，可得四边形为等腰梯形.设，圆台的高，取，AB的中点分别为，D，连接，，OD，则四边形为直角梯形，过作交OD于点C.因为，，所以，，，，所以，所以.则.令，因为，所以，则，.①当时，，当且仅当，即时，.②当时，.令，则，，当时，取最大值3.此时.故答案为：2； 3．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为________．【答案】【解析】由题意知：圆锥的底面半径；设圆锥的母线长为，则，解得：，圆锥的高，圆锥的体积.故答案为：.