2023年高考数学 7.3 空间角(精讲)(提升版)(解析版)
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这是一份2023年高考数学 7.3 空间角(精讲)(提升版)(解析版),共24页。试卷主要包含了线线角,线面角,二面角,空间角的综合运用等内容,欢迎下载使用。
7.3 空间角(精讲)(提升版)考点一 线线角【例1-1】(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】解法一:设E为BC的中点,连接FE,如图,∵E是BC的中点,∴∥,,,;在中,由余弦定理可知 ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为,解法二:以A为坐标原点,AC,AM所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,易知,,,所以,, 则,∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选:D【一隅三反】1.(2022·新疆·三模(理))在正方体中,E为的中点,平面与平面的交线为l,则l与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】延长,交直线于点M,延长交于点,连接, 则直线即为交线,又,则即为l与所成的角,设正方体棱长为1,因为E为的中点,,所以为的中点,为的中点,点为的中点,为的中点,则,又,所以,所以,则,,,所以,即l与所成角的余弦值为.故选:D.2.(2022·四川内江·模拟预测(理))如图,在直三棱柱中,面,,则直线与直线夹角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于,若是的中点,连接,由为直棱柱,各侧面四边形为矩形,易知:是的中点,所以,故直线与直线夹角,即为与的夹角或补角,若,则,,面,面,则,而,又,面,故面,又面,所以.所以,,在△中.故选:C3.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,令,则,,,,则,,设异面直线PN和BM所成角为,则.故选:B.考点二 线面角【例2-1】(2022·黑龙江)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,且.(1)求证:平面平面;(2)若,,求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,又因为平面,平面,所以,又因为,平面,所以平面,而平面,所以平面平面.得证.(2)如图,以为坐标原点,分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系,则点,,,,则,,,设平面的法向量为,则,即,令可得平面的法向量为,设直线PB与平面ADP所成角为,则.直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.【例2-2】(2022·云南)已知正方体的棱长为1,点P在线段上,且,则AP与平面ABCD所成角的正切值为( )A.1 B. C. D.【答案】D【解析】如图,连接,因为在平面ABCD上的投影为,故作于,且平面,连接,则AP与平面ABCD所成角为.因为,故,且,故. 所以AP与平面ABCD所成角的正切值为故选:D【例2-3】.(2022·河南安阳)如图,在圆锥中,为圆锥的底面直径,为等腰直角三角形,B为底面圆周上一点,且,M为上一动点,设直线与平面所成的角为,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,过点作于点,连,∵平面,平面,∴,又,,平面,∴平面,又∵平面,∴,故为直线与平面所成的角,在中,越小,越大,越大,当时,最小,此时最大,∵为等腰直角三角形,又,在中,,在中,,则,在等腰直角三角形中,,在中,,,则,故选:C.【一隅三反】1.(2022·河南安阳)如图,在四面体ABCD中,,,E为BD的中点,F为AC上一点.(1)求证:平面平面BDF;(2)若,,,求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在四面体ABCD中,,E为BD的中点,则,而,平面,于是得平面,又平面,所以平面平面.(2)依题意不妨设,,则,又,则,.在中,,所,则,.由(1)得,,因,即,则.设点B到平面ACD的距离为h,则,解得,所以点B到平面ACD的距离为.设直线BF与平面ACD所成角为,所以.因为,所以,故当时,最短,此时,正弦值最大为.2.(2022·北京)如图,四棱锥的底面是梯形,,,E为线段中点. (1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)取中点F,连接交于点O,连接,由,且梯形,有且,故平行四边形,又,故为菱形,所以为的中点,故.又因为,故,因为,面,故面,又面,故.(2)解析1:几何法在中,,故,因为,故,由,即,即,故面,又,故面,面,故面面,作,面面,面,故面,在中,,因为,故B到面距离等于,设与平面所成角为,,故,故与平面所成角的正弦值为.解析2:向量法在中,,故,因为,故,由,即,即,故面,以为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,故,故,设面的法向量为,则,令,故,所以,故与平面所成角的正弦值为.考点三 二面角【例3-1】(2022·云南师大附中)如图,是边长为的等边三角形,E,F分别是的中点,G是的重心,将沿折起,使点A到达点P的位置,点P在平面的射影为点G.(1)证明:;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)连接,因是等边三角形,是的中点,是的重心,所以在上,,又点在平面的射影为点,即平面,平面,所以,又,所以平面,又平面,所以.(2)过点作,连接,与,分别交于点,点.因为分别是,的中点,所以,所以,是平面与平面的交线.由是等边三角形,是的重心,知点,点分别是线段,的中点.平面,平面,所以,又,平面,,则平面,所以平面,又平面,于是,,为平面与平面所成二面角的平面角.由等边三角形的边长为,可得,,,,,在中,由余弦定理,得,所以平面与平面夹角的余弦值为.【例3-2】(2022·青海·海东市第一中学)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等边三角形,,,M是棱上一点,且.(1)求证:平面MBD;(2)求二面角M-BD-C的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接AC,记AC与BD的交点为H,连接MH.由,得,,又,则,∴,又平面MBD,平面MBD,∴平面MBD.(2)记O为CD的中点,连接PO,BO.∵为等边三角形,∴,∵平面平面ABCD,平面平面ABCD=CD,∴平面ABCD.以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OP为x轴,建立空间直角坐标系,如下图,则,,,,,,.设平面BDM的法向量,则,取x=1得,平面BCD的一个法向量.设二面角M-BD-C的平面角为θ,则.∴二面角M-BD-C的余弦值为.【一隅三反】1.(2022·天津·高考真题)直三棱柱中,,D为的中点,E为的中点,F为的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)证明:在直三棱柱中,平面,且,则以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、、、、、,则,易知平面的一个法向量为,则,故,平面,故平面.(2)解:,,,设平面的法向量为,则,取,可得,.因此,直线与平面夹角的正弦值为.(3)解:,,设平面的法向量为,则,取,可得,则,因此,平面与平面夹角的余弦值为.2.(2022·江西)如图,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,,,D为上靠近A的三等分点.(1)若,求证:平面平面;(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:因为是边长为2的正三角形,所以,,又,所以,从而.因为,,所以.又因为D为上靠近A的三等分点,所以,在中,由余弦定理得.因此,所以.因为,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)解:由题意当三棱锥的体积最大时,有平面平面.取的中点O,连接,,则,平面平面,平面,从而平面,又,为的中点,所以;以O点为原点,以为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,从而,,,设平面的法向量为,则从而,取,则.设平面的法向量为,则从而,取,则.,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.3.(2022·广西玉林·模拟预测(理))如图,在直三棱柱 中,D,E别是棱、上的点,,. (1)求证:平面平面;(2)若直线与平面ABC所成的角为,且,求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)取中点,AB中点O,连交于F,连,,则,∵,∴,∴是平行四边形,∴,∵,∴.又在直三棱柱中,平面,平面,∴,平面,结合,∴平面,∴平面,又平面,∴平面平面.(3)由(1)知,OC、OB、两两垂直,建立如图空间直角坐标系,取上一点M,使,连AM,则,又平面ABC,与平面ABC所成角为,∴,∴,不妨设,则,,,,∴,,,,,,,.设平面的一个法向量为,则,∴,,取,得,平面的一个法向量,,∴二面角的平面角的正弦值为.考点四 空间角的综合运用【例4】(2022·重庆南开中学)(多选)已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形,点M在棱PD上,且,点Q在底面及其边界上运动,且面,则下列说法正确的是( )A.点Q的轨迹为线段B.与CD所成角的范围为C.的最小值为D.二面角的正切值为【答案】ACD【解析】对于A,取点,,使得,,连接,,如图, 由线段成比例可得,平面,平面,所以平面,同理可得平面,又平面,,所以平面平面,故当点时,总有面,所以点Q的轨迹为线段,故A正确;对于B,由知与CD所成角即为与NE所成角,在中,,由余弦定理可得,由,可知,即运动到点时,异面直线所成的角小于,故B错误;对于C,当时,最小,此时,故C正确;对于D,二面角即平面与底面所成的锐角,连接相交于,连接,取点H,使得,连接MH,过H作于G,连接,如图, 由正四棱锥可知,面,由,知,,由可得,,面,,又,,平面,,即为二面角的平面角,,故D正确.故选:ACD【一隅三反】1.(2022·湖南·长郡中学模拟预测)(多选)已知正方体的边长为2,M为的中点,P为侧面上的动点,且满足平面,则下列结论正确的是( )A. B.平面C.与所成角的余弦值为 D.动点P的轨迹长为【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则,所以,由平面,得,即,化简可得:,所以动点P在直线上,对于选项A:,所以与不垂直,所以A选项错误;对于选项B:平面平面,所以平面,B选项正确;对于选项C:,C选项正确;对于选项D:动点P在直线上,且P为侧面上的动点,则P在线段上,,所以,D选项正确;故选:BCD.2.(2022·福建·三明一中模拟预测)已知正方体中,,点E为平面内的动点,设直线与平面所成的角为,若,则点E的轨迹所围成的面积为___________.【答案】【解析】如图所示,连接交平面于,连接, 由题意可知平面, 所以是与平面所成的角,所以=.由可得,即. 在四面体中,, ,所以四面体为正三棱锥,为的重心,如图所示: 所以解得 ,,又因为,所以 ,即在平面内的轨迹是以O为圆心,半径为1的圆,所以.故答案为:.
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