高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念》教学设计

一、创设情境,引出课题

问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码?

(因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出不同号码的个数为26+10=36)

问题2:从甲地到乙地,可以乘火车也可以乘汽车.一天中,火车4班,汽车8班.乘这些交通工具从甲地到乙地,有多少种不同方法?

(从甲地到乙地,乘火车有4班,乘汽车有8班,所以不同方法的种数为4+8=12)

教师提出问题,学生思考、回答.

设计意图:通过设置问题情境,引出分类计数问题,激发学生的学习兴趣.

二、探究新知

1.你能概括一下上述问题的共同特征吗?

【师生活动】学生回答,教师注意引导学生概括到“分类”和“加法”上.可以由学生叙述分类加法计数原理,教师适当补充.

归纳概括分类加法计数原理:

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

教师对原理进行解释,特别注意强调明确要完成的“一件事”的重要性.

问题1中要完成的一件事是指“给一个座位编号”,问题2中要完成的一件事是指“从甲地到乙地”.

特别注意:完成一件事都需要分类完成;每一类中的每一种方法都能完成这件事,两类不同的方案中的方法互不相同.

设计意图:概括分类计数问题的特征,得出分类加法计数原理.

2.你能举出生活中的一些分类计数的问题吗?

【师生活动】学生举例,教师适当评价,特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么.

设计意图:使学生辨析和理解分类加法计数原理.

例1  在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,如表所示.

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择?

教师提问:例1中要完成的一件事是什么?

教师引导学生分析问题获得解答.要完成的一件事是“选一个专业”.

分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又因为这两所大学没有共同的强项专业,所以符合分类加法计数原理的条件.

解:这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共有的,所以根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数为.

设计意图:巩固概念,学会用分类加法计数原理解答简单问题.

3.探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第3类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

(完成这件事共有种不同的方法)

如果完成一件事有类不同方案,在每一类中都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢?

(如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法)

让学生自主探究,得出答案.

设计意图:推广分类加法计数原理,加深对分类加法计数原理的理解与认识.

4.用前6个大写英文字母和这9个阿拉伯数字,以的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码?这一问题与问题1有什么不同?

【师生活动】教师引导学生分析、比较,得出:完成问题1的方法可以分类,用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个,都可以给出一个座位号码.但在这个问题中,号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成,即得到一个号码要经过先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.需要分步才能完成.

设计意图:比较分类计数问题与分步计数问题,渗透分步乘法计数原理.

5.你能列出所有的号码吗?

【师生活动】学生列出号码,教师注意在“有规律”“有序”列举上进行引导,可引出“树状图”法.教师和学生一起列出第一个树状图,让学生列出其他的树状图.

6.从列号码的过程中你发现了什么规律?

【师生活动】教师引导学生概括出“任意一个英文字母都能与9个数字中的任意一个组成一个号码”.

可以这样思考:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码,而且它们互不相同,因此不同号码的种数为.

补充问题:从甲地到乙地,需要经过丙地,从甲地到丙地有4条路,从丙地到乙地有8条路.从甲地到乙地,有多少条不同的路线?

(从甲地到乙地,不同路线的条数为)

7.你能概括上述问题的共同特征吗?

【师生活动】学生回答,教师注意引导学生概括到“分步”和“乘法”上.可以由学生叙述分步乘法计数原理,教师适当补充.

分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

设计意图:概括分步计数问题的特征,得出分步乘法计数原理.

8.你能举出生活中的一些分步计数问题吗?

【师生活动】学生举例,教师适当评价.特别注意让学生思考回答“一件事”是什么.

设计意图:使学生辨析和理解分步乘法计数原理.

例2  某班有男生30名、女生24名,从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?

提问:在这个例题中,要完成的一件事是什么?

教师引导学生自主分析问题获得解答.“一件事”是指“选男生和女生各1名”.

分析:要完成的一件事是“选男生和女生各1名”,可以分两个步骤:第1步,选男生;第2步,选女生.

解:第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选法;第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选法.根据分步乘法计数原理,共有不同选法的种数为.

设计意图:巩固概念,学会用分步乘法计数原理解答简单问题.

9.探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,做第3步有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

(完成这件事共有种不同的方法)

如果完成一件事需要个步骤,做每一步都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢?

(如果完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法)

设计意图:推广分步乘法计数原理,加深对此原理的理解与认识.

例3  书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同取法?

(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法?

教师引导学生分析:

对于第(1)小题,要完成的一件事是什么?完成这件事需要分类还是分步?

(要完成的一件事是“从书架上取1本书”,需要分类完成)

对于第(2)小题,要完成的一件事是什么?完成这件事需要分类还是分步?

(要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”,需要分步完成)

要求学生自己完成解答过程.

完整解答过程如下:

解:(1)从书架上任取1本书,有三类方案:第1类方案是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方案是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方案是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数为.

(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,可以分三个步骤完成:第1步,从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步,从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步,从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为.

三、课堂练习

教材第页练习第1,3题.

【师生活动】学生独立完成.教师提问:要完成的一件事是什么?

对于第3题,教师要引导学生分析算法出错的原因(从要完成的“一件事”是什么进行分析).

四、归纳总结提升

【师生活动】你能从自己的生活经历中举出两个计数原理的例子吗?

学生举例.教师针对学生举出的例子,要求学生回答要完成的“一件事”是什么,为什么可以用相应的原理来计数等.

设计意图:通过举例检查学生对概念的理解情况.

板书设计:

教学研讨:

计数原理的教学要注意采用“归纳式”,一定要让学生经历原理的形成过程,切忌采用由教师自己叙述原理条文、解释原理,然后讲解例题,最后让学生模仿练习的教学模式.在本节课的教学中,从问题情境中引出计数的课题后,要通过列举等方式写出所有的可能情况,引导学生分析问题的特点,提出计数的方法,并概括到一般原理上.其中,让学生自己举出一些例子,说明计数的方法,概括不同事例的共同特征,都是需要经历的过程.对要完成的“一件事”的分析是理解两个计数原理的关键,为此,可多举一些典型例子,引导学生反复分析、体会.