还剩24页未读，
继续阅读
广东省肇庆市四会市肇广实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)
展开
这是一份广东省肇庆市四会市肇广实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省肇庆市四会市肇广实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2
5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 ．
12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ．
13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．
14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 米．
15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 ．
17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+7＝0．
（2）计算：|1﹣tan60°|+9﹣sin30°+（π+3）0．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长．
20．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
22．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
23．（8分）如图，点C是反比例函数y＝图象的一点，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y＝ax+3与反比例函数y＝相交于A，C点，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC，求sin∠ACB．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年广东省肇庆市四会市肇广实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
【解答】解：因为x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
则x1+x2＝2，x1•x2＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．
5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据k＜0，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＞0，y3＜y1＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，对于k＜0，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，AC＝AD+DC，
∴，
∴DC＝6．
答：DC边的长为6．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找对相似三角形的对应边．
7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＝3，CD＝4，
∴由勾股定理可知：AC＝5，
∴cos∠BAC＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＜﹣1，a＜0
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②正确；
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误．
综上所述正确的个数为2个
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 3 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，
∴a＝5，b＝﹣2，
所以，a+b＝5+（﹣2）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 m≤9 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得m≤9，
所以m的取值范围为m≤9．
故答案为：m≤9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．
【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab＝1，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴ab＝1，
∴菱形的面积＝ab＝．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 15 米．
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴＝，即，
∴AB＝15（米）．
故答案为：15．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．
15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH＝8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82，解此方程即可求得答案．
【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH＝EF＝4，
设求半径为r，则OH＝8﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2＝42，
解得r＝5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 4 ．
【分析】利用直角三角形的边角间关系先求出AB，再利用勾股定理求出AC．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinA＝，
∴＝．
∴AB＝6．
∴AC＝
＝
＝
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了解直角三角形．掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 7 ．
【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．
【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），
∴设点A（a，3）
∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2
∴a＝
∴点A（，3）
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝7
故答案为：7．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+7＝0．
（2）计算：|1﹣tan60°|+9﹣sin30°+（π+3）0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）代入三角函数值，再去绝对值符号，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
则x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，
∴x+3＝，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）原式＝|1﹣|+9﹣+1
＝﹣1+9﹣+1
＝+．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长．
【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P点，然后以P点为圆心，PA为半径作圆即可；
（2）过P点作PD⊥BC于D点，如图，根据切线的性质得到PA、PB为⊙P的半径，根据切线长定理得到∠ABP＝∠ABC＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出PA，从而得到⊙P的周长．
【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；
（2）过P点作PD⊥BC于D点，如图，
∵⊙P与AB，BC两边都相切，PA⊥AB，
∴PA、PB为⊙P的半径，BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝×3＝，
∴⊙P的周长为2π×＝2π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和切线的判定与性质．
20．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】先设AB＝x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD＝BD﹣BC＝10，进而可求出答案．
【解答】解：∵设AB＝x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D＝30°，∠ACB＝45°，CD＝10米，
∴CB＝x，AD＝2x，BD＝＝x，
∵CD＝BD﹣BC＝10（米），
x﹣x＝10，
∴x＝5（+1）≈13.7．
答：该树高是13.7米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元），
商场每天可多销售：10×2＝20（件），
每天销售：40+20＝60（件），
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，
整理得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
∵为了尽快减少库存，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
22．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷＝200（人）；
（2）首先求得C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷＝200（人）．
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；
补充如图．
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，点C是反比例函数y＝图象的一点，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y＝ax+3与反比例函数y＝相交于A，C点，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把C（4，﹣1）代入y＝解方程即可得到结论；
（2）把C（4，﹣1）代入y＝ax+3得到y＝﹣x+3，解方程组即可得到结论；
（3）根据△PAC的面积为10，列方程|x﹣3|×4+|x﹣3|×1＝10，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点C（4，﹣1）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）把C（4，﹣1）代入y＝ax+3得：
﹣1＝4a+3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+3，
∴，
∴或，
∴点A的坐标为（﹣1，4）；
（3）存在． 理由：假设存在，设P点坐标为（x，0），
设直线AC与x轴交于点M
当y＝0时，﹣x+3＝0，x＝3∴点M（3，0）
∵S△PAC＝10，
∴（x﹣3）×4+（x﹣3）×1，x＝7，
或（3﹣x）×4+（3﹣x）×1＝10，x＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，0）或（7，0）．
故存在P点使得△PAC的面积为10．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形的面积是|k|．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝4，
∴BM＝2．
∴MN•MC＝BM2＝8．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC，求sin∠ACB．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1即可；
（2）令对称轴与直线的交点为D，连接AD，证明△ADC是直角三角形，进而求出sin∠ACB的值．
（3）分成，∠PBQ＝∠ABC＝45°和 ，∠QBP＝∠ABC＝45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．
【解答】解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），
∵抛物线的对称轴x＝2，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：连接AD，
∵OC＝OB，∠COB＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∵直线x＝2是抛物线的对称轴，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
当x＝2时，y＝﹣x+3＝﹣2+3＝1，
∴DB＝DA＝，
∵AC＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝；
（3）如图，
①当 ，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．
即 ＝，
∴BQ＝3，
又∵BO＝3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当 ，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．
即 ，
QB＝．
∵OB＝3，
∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣＝，
∴Q2的坐标是（ ，0）．
∵∠PBx＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是关键．
2021-2022学年广东省肇庆市四会市肇广实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2
5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 ．
12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ．
13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．
14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 米．
15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 ．
17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+7＝0．
（2）计算：|1﹣tan60°|+9﹣sin30°+（π+3）0．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长．
20．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
22．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
23．（8分）如图，点C是反比例函数y＝图象的一点，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y＝ax+3与反比例函数y＝相交于A，C点，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC，求sin∠ACB．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年广东省肇庆市四会市肇广实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
【解答】解：因为x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
则x1+x2＝2，x1•x2＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．
5．（3分）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据k＜0，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＞0，y3＜y1＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，对于k＜0，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，AC＝AD+DC，
∴，
∴DC＝6．
答：DC边的长为6．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找对相似三角形的对应边．
7．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＝3，CD＝4，
∴由勾股定理可知：AC＝5，
∴cos∠BAC＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8．（3分）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＜﹣1，a＜0
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②正确；
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误．
综上所述正确的个数为2个
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，则a+b的值等于 3 ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，
∴a＝5，b＝﹣2，
所以，a+b＝5+（﹣2）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 m≤9 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得m≤9，
所以m的取值范围为m≤9．
故答案为：m≤9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
13．（4分）已知一菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则该菱形的面积为 ．
【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab＝1，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴ab＝1，
∴菱形的面积＝ab＝．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
14．（4分）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为 15 米．
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴＝，即，
∴AB＝15（米）．
故答案为：15．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．
15．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH＝8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82，解此方程即可求得答案．
【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH＝EF＝4，
设求半径为r，则OH＝8﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2＝42，
解得r＝5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为 4 ．
【分析】利用直角三角形的边角间关系先求出AB，再利用勾股定理求出AC．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinA＝，
∴＝．
∴AB＝6．
∴AC＝
＝
＝
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了解直角三角形．掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
17．（4分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值 7 ．
【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．
【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），
∴设点A（a，3）
∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2
∴a＝
∴点A（，3）
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝7
故答案为：7．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+7＝0．
（2）计算：|1﹣tan60°|+9﹣sin30°+（π+3）0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）代入三角函数值，再去绝对值符号，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
则x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，
∴x+3＝，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）原式＝|1﹣|+9﹣+1
＝﹣1+9﹣+1
＝+．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．（6分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长．
【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P点，然后以P点为圆心，PA为半径作圆即可；
（2）过P点作PD⊥BC于D点，如图，根据切线的性质得到PA、PB为⊙P的半径，根据切线长定理得到∠ABP＝∠ABC＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出PA，从而得到⊙P的周长．
【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；
（2）过P点作PD⊥BC于D点，如图，
∵⊙P与AB，BC两边都相切，PA⊥AB，
∴PA、PB为⊙P的半径，BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝×3＝，
∴⊙P的周长为2π×＝2π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和切线的判定与性质．
20．（6分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】先设AB＝x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD＝BD﹣BC＝10，进而可求出答案．
【解答】解：∵设AB＝x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D＝30°，∠ACB＝45°，CD＝10米，
∴CB＝x，AD＝2x，BD＝＝x，
∵CD＝BD﹣BC＝10（米），
x﹣x＝10，
∴x＝5（+1）≈13.7．
答：该树高是13.7米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元），
商场每天可多销售：10×2＝20（件），
每天销售：40+20＝60（件），
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，
整理得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
∵为了尽快减少库存，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
22．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷＝200（人）；
（2）首先求得C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷＝200（人）．
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；
补充如图．
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，点C是反比例函数y＝图象的一点，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若一次函数y＝ax+3与反比例函数y＝相交于A，C点，求点A的坐标；
（3）在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把C（4，﹣1）代入y＝解方程即可得到结论；
（2）把C（4，﹣1）代入y＝ax+3得到y＝﹣x+3，解方程组即可得到结论；
（3）根据△PAC的面积为10，列方程|x﹣3|×4+|x﹣3|×1＝10，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点C（4，﹣1）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）把C（4，﹣1）代入y＝ax+3得：
﹣1＝4a+3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+3，
∴，
∴或，
∴点A的坐标为（﹣1，4）；
（3）存在． 理由：假设存在，设P点坐标为（x，0），
设直线AC与x轴交于点M
当y＝0时，﹣x+3＝0，x＝3∴点M（3，0）
∵S△PAC＝10，
∴（x﹣3）×4+（x﹣3）×1，x＝7，
或（3﹣x）×4+（3﹣x）×1＝10，x＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，0）或（7，0）．
故存在P点使得△PAC的面积为10．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，三角形的面积是|k|．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝4，
∴BM＝2．
∴MN•MC＝BM2＝8．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x＝2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC，求sin∠ACB．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1即可；
（2）令对称轴与直线的交点为D，连接AD，证明△ADC是直角三角形，进而求出sin∠ACB的值．
（3）分成，∠PBQ＝∠ABC＝45°和 ，∠QBP＝∠ABC＝45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．
【解答】解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），
∵抛物线的对称轴x＝2，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得到a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图：连接AD，
∵OC＝OB，∠COB＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∵直线x＝2是抛物线的对称轴，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
当x＝2时，y＝﹣x+3＝﹣2+3＝1，
∴DB＝DA＝，
∵AC＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝；
（3）如图，
①当 ，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．
即 ＝，
∴BQ＝3，
又∵BO＝3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当 ，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．
即 ，
QB＝．
∵OB＝3，
∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣＝，
∴Q2的坐标是（ ，0）．
∵∠PBx＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是关键．
相关试卷
90，广东省肇庆市四会市大沙中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷： 这是一份90，广东省肇庆市四会市大沙中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共15页。
2023-2024学年广东省肇庆市四会市九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省肇庆市四会市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省肇庆市四会市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(无答案)： 这是一份广东省肇庆市四会市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了方程的解是，如图，的弦，是的中点，且等内容，欢迎下载使用。
