2022年广东省肇庆市四会市肇广实验学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省肇庆市四会市肇广实验学校中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．（3分）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（ ）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
4．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
6．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．2 C．16 D．4
7．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
8．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：xy﹣x＝ ．
12．（4分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ ．
13．（4分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
14．（4分）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 ．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为 ．

16．（4分）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．

17．（4分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1，在双曲线y＝（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0），过B1作B1A2∥OA1，交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为 Bn的坐标为 ．

三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，满分18分.
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）•，其中a＝．
19．（6分）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数是 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）“非常了解”的4人中有A1，A2，两名男生，B1，B2，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

20．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．

22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，F为的中点，过点F作AE的垂线，垂足为C，交AB的延长线于点D，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，sinD＝，求CD的长．

23．（8分）为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；
（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（2，a），B（﹣1，﹣2）两点．
（1）求k与a的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在直线AB上确定一点P，使PO＝PA，求点P的坐标．

25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年广东省肇庆市四会市肇广实验学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：9的相反数是﹣9，
故选：A．
【点评】此题主要考查相反数的定义，比较简单．
2．（3分）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（ ）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：2、2、3、4、5，中位数是第三个数3，
故选：C．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．2 C．16 D．4
【分析】根据中位线定理可得DF＝AC，DE＝BC，EF＝AC，继而结合△ABC的周长为16，可得出△DEF的周长．
【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AC，
故△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（BC+AB+AC）＝16＝8．
故选：A．

【点评】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．
7．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣3x≥﹣1，得：x≤1，
解不等式x﹣1≥﹣2（x+2），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③正确；
∵函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0不一定成立，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：xy﹣x＝ x（y﹣1） ．
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．
【解答】解：xy﹣x＝x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（4分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ 4 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类项的定义，正确根据同类项的定义得到m，n的值是解题的关键．
13．（4分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【分析】由+|b+1|＝0得a＝2，b＝﹣1，代入求解．
【解答】解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
14．（4分）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 7 ．
【分析】由x＝5﹣y得出x+y＝5，再将x+y＝5、xy＝2代入原式＝3（x+y）﹣4xy计算可得．
【解答】解：∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
当x+y＝5，xy＝2时，
原式＝3（x+y）﹣4xy
＝3×5﹣4×2
＝15﹣8
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含式子x+y、xy及整体代入思想的运用．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为 45° ．

【分析】根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
故答案为45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．

【分析】图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC＝90°．
【解答】解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC•AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．

【点评】本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
17．（4分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1，在双曲线y＝（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0），过B1作B1A2∥OA1，交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为 （2，0） Bn的坐标为 （2，0） ．

【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．
【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，
OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，a）．
∵点A2在双曲线y＝（x＞0）上，
∴（2+a）•a＝，
解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣1（舍去），
∴OB2＝OB1+2B1C＝2+2﹣2＝2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，
OD＝OB2+B2D＝2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在双曲线y＝（x＞0）上，
∴（2+b）•b＝，
解得b＝﹣+，或b＝﹣﹣（舍去），
∴OB3＝OB2+2B2D＝2﹣2+2＝2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
∴点B6的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0），（2，0）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，满分18分.
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）•，其中a＝．
【分析】先对﹣通分，再对a2﹣1因式分解，进行化简求值．
【解答】解：（﹣）•
＝
＝．
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式化简求值的知识点，最后答案一定分母有理化到最简．
19．（6分）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数是 600 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）“非常了解”的4人中有A1，A2，两名男生，B1，B2，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【分析】（1）由非常了解的学生人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得答案；
（2）用被调查人数乘以对应的百分比求出不了解人数，从而补全图形；
（3）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷8%＝50（人），
∵“不了解”对应的百分比为1﹣（40%+22%+8%）＝30%，
∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数是2000×30%＝600（人），
故答案为：50、600；
（2）“不了解”的人数是50×30%＝15（人），补全图形如下：

（3）列表如下：
由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
所以恰好抽到2名男生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．

【分析】过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，通过解直角三角形可求出BE，AE的长及∠ABE的度数，结合∠ABD＝105°可求出∠DBE的度数，在Rt△BDE中，通过解直角三角形可求出DE的长，再结合AD＝AE+DE即可求出结论．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：

在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝2km，
AE＝＝＝2km，
∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，
∴DE＝BE＝2km，
∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，
∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．
答：隧道CD的长为（2+1）km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形，求出AE，DE的长是解题的关键．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一点，F为的中点，过点F作AE的垂线，垂足为C，交AB的延长线于点D，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，sinD＝，求CD的长．

【分析】（1）连接OF．根据已知条件证明OF∥AC．由AC⊥CD，可得OF⊥CD．进而可得直线CD是⊙O的切线；
（2）根据BD＝2，sinD＝，可得OB＝OF＝4．根据OF∥AC，可得△ADC∽△ODF．对应边成比例即可求出CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA．
∵F是的中点，
∴．
∴∠FAE＝∠OAF．
∴∠OFA＝∠FAE．
∴OF∥AC．
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODF中，
∵OB＝OF，BD＝2，sinD＝，
∴，
即，
解得OB＝OF＝4．
∴AD＝10，OD＝6．
∵OF∥AC，
∴△ADC∽△ODF．
∴＝，
即＝．
∴AC＝．
∴CD＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．（8分）为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；
（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【分析】（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自独立完成1200米的铺设任务时甲队比乙队少用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，根据甲队施工时间不超过20天，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，
依题意，得：．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米．
（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，
依题意，得：≤20，
解得：m≥30．
答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工程．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（2，a），B（﹣1，﹣2）两点．
（1）求k与a的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在直线AB上确定一点P，使PO＝PA，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得k，然后把A（2，a）代入反比例函数解析式即可求得a；
（2）利用待定系数法即可求得；
（3）设P（x，x﹣1），利用勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x﹣2）2+（x﹣1﹣1）2然后解方程求出x即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过B（﹣1，﹣2）点．
∴k＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴反比例函数为y＝，
把A（2，a）代入y＝得，a＝＝1；

（2）把A（2，1），B（﹣1，﹣2）代入y＝mx+n得，
解得，
∴一次函数为y＝x﹣1；

（3）设P（x，x﹣1），
∵PO＝PA，
∴x2+（x﹣1）2＝（x﹣2）2+（x﹣1﹣1）2
解得x＝，
∴P点坐标为（，）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，熟知待定系数法是本题的关键．
25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x2﹣2x﹣3），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，），
∴S△ABF＝＝＝．
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．
A1
A2
B1
B2
A1
（A2，A1）
（B1，A1）
（B2，A1）
A2
（A1，A2）
（B1，A2）
（B2，A2）
B1
（A1，B1）
（A2，B1）
（B2，B1）
B2
（A1，B2）
（A2，B2）
（B1，B2）