精品解析：广东省深圳市沙湾实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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一、选择题．（本大题共10小题）
1. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待兔D. 瓮中捉鳖
【答案】D
【解析】
【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．
【详解】解： A选项，不可能事件，不符合题意；
B选项，不可能事件，不符合题意；
C选项，随机事件，不符合题意；
D选项，必然事件，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键．
2. 如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）
A. S1＞S2B. S1＝S2C. S1＜S2D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等．
【详解】解：由题意得：A、C两点在反比例函数图象上，则过两点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
因此，直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
3. 关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. a≠±1B. a≠0
C. a 为任何实数D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
4. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（ ）
A. 先变短后变长B. 先变长后变短C. 逐渐变短D. 逐渐变长
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影可直接进行求解．
【详解】解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长；
故选A．
【点睛】本题主要考查投影，熟练掌握投影是解题的关键．
5. 已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A. 2：1B. 4：1C. 1：2D. 1：4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．
解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，
∴△ABC与△DEF周长比为1：2．
故选C．
考点：相似三角形的性质．
6. 在今年中考中，市县学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m、100m、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设50m、100m、50m×2分别为1、2、3；原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐（女）分别为①、②、③，
画树状图如下：
∵共有9种可能，同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的有1种，
∴同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是．
故选：D．
7. 两个相似三角形对应高之比为，那么它们的对应中线之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．
【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，
∴它们相似比是1:2，
∴它们对应中线之比为1:2.
故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
8. 有一个正方体，6个面上分别标有1到6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：出现向上一面的数字有6种，其中是偶数的有3种，
∴出现向上一面的数字是偶数的概率为．
故选：C
9. 如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（ ）
A. AD＋BC＞2EFB. AD＋BC≥2EFC. AD＋BC＜2EFD. AD＋BC≤2EF
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出，，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点G，连接EG，GF，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是和的中位线，
∴，，
在中，由三角形三边关系得，
即，
∴，
当时，点E、F、G在同一条直线上，
∴，
∴四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是：．
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质定理，三角形三边关系，线段间的数量关系等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
10. 已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2＋（a＋b＋c）x＋a2＋b2＋c2＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个负根B. 有两个正根
C. 两根一正一负D. 无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac，然后进行配方得到Δ＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，再根据a、b、c是三个不全为0的实数，即可判断Δ＜0，从而得到方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）
＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac
＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，
而a、b、c是三个不全为0的实数，
∴（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣≤0，-a2﹣b2﹣c2＜0，
∴Δ＜0，
∴原方程无实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2 + bx +c=0(a、 b、 c为常数，a≠0)的根的判别式△=b2-4ac，当△>0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△< 0，原方程没有实数根；将代数式进行合理变形判断△的正负性是解题的关键．
二、填空题．（本大题共5小题）
11. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝____.
【答案】35
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
详解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=35°．
故答案为35．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
12. 如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则：
（1）点B的坐标是_____；
（2）点E的坐标是_____．
【答案】 ①. （1，1） ②.
【解析】
【分析】（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），把B的坐标代入y＝即可得到B的坐标；
（2）设点E的纵坐标为y，则点E的横坐标为（1+y），代入反比例函数的解析式即可求得y的值，从而求得E的坐标．
【详解】解：（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝1，
∴a＝1，
∴点B的坐标为（1，1）．
（2）设点E的纵坐标为y，
∴点E横坐标为（1+y），
∴y×（1+y）＝1，
即y2+y﹣1＝0，
即y＝，
∵y＞0，
∴y＝，
∴点E的横坐标为1+＝．
∴E（，）．
故答案为（1，1），（，）．
【点睛】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及求解一元二次方程等知识，解题的思路是设出点B、E的坐标，然后利用点B、E在反比例函数图像上，列出方程求解．
13. 一几何体的三视图如图，那么这个几何体是_____．
【答案】空心圆柱
【解析】
【分析】主视图和左视图这两个视图是矩形，俯视图是个圆环，那么符合这样条件的几何体是空心圆柱．
【详解】解：该几何体的三视图中主视图和左视图这两个视图是矩形，俯视图是个圆环，
故该几何体为空心圆柱．
故答案为：空心圆柱．
【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，解题的关键是能够通过三视图判断符合这样条件的几何体．
14. 若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞且m≠1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，进而即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞且m≠1．
故答案为：m＞且m≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键．
15. 如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC=AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例关系即可．可设AF=a，FC=b；证明△AFB∽△ABC，继而可得AB2=AF•AC，联立CD=CF=AB，即可求得AF、FC的比例关系，由此得解．
【详解】设AF=a，FC=b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC=AF：FC=a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，
∴∠ABC=∠AFB=90°，
又∠BAC=∠FAB，
∴△AFB∽△ABC，
∴，
∴AB2=AF•AC=a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=CF=b；
∴b2=a（a+b），
即a2+ab-b2=0，
（）2+（）-1=0
解得=（负值舍去）；
∴=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形及相似三角形的性质．能够正确的在Rt△ABC中求得AF、FC的比例关系是解答此题的关键．
三、解答题．（本大题共7小题）
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2＋2x﹣5＝0；
（2）；
（3）3x2﹣2＝4x；
（4）2x2﹣4x＋1＝0
【答案】（1）x1=-1+，x2=-1-；
（2）x1=x2=-；
（3）x1=，x2=；
（4）x1=1+，x2=1-．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用配方法求解即可．
【小问1详解】
解：x2+2x-5=0，
移项得：x2+2x=5，
配方得：x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6，
∴x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
【小问2详解】
解：x2+x+=0，
（x+）2=0，
∴x+=0，
∴x1=x2=-；
【小问3详解】
解：3x2-2=4x，
3x2-4x-2=0，
∵a=3，b=-4，c=-2，
∴Δ=（-4）2-4×3×（-2）=40＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
【小问4详解】
解：2x2-4x+1=0，
x2-2x=-，
x2-2x+1=-+1，即（x-1）2=，
∴x-1=±，
∴x1=1+，x2=1-．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
（2）．
【答案】（1）5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4
（2）2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1
【解析】
【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．
【小问1详解】
化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
【小问2详解】
化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
18. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x﹣4＝0；
（2）ax2＋bx＝0（a≠0）．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根
（2）方程有两个实数根
【解析】
【分析】分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可．
【小问1详解】
∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
∵a≠0，
∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0，
∴方程有两个实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由证明即可；
（2）由（1）知，，则，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，，
又，分别是，的中点，
，，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
20. 在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得，，变形比例式表示DG，得，又BD＝EC，得到，化为等积式即可．
【详解】解：过点C作CG∥DP交AB于G，
∴，，
∴，，
∴，
∵BD＝EC，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是根据题意作出合适的辅助线，利用性质和等量关系求解．
21. 如图，直角△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，证明：AB2＝BD•BC，AC2＝CD•BC，AD2＝BD•CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明，由相似三角形的性质可知，故此可得到：；证明，由相似三角形的性质可知故此；证明，由相似三角形的性质可知，故此可知：．
【详解】证明：在和中，
，，
．
．
．
和中，
，，
．
．
．
．，，
．
．
．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
22. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）
（2）y1＜y2 （3）3
【解析】
【分析】（1）由，设反比例函数的解析式，则；
（2）由于反比例函数的性质是：在时，随的增大而减小，，则；
（3）连接，过点作轴，交轴于点，通过分割面积法求得．
【小问1详解】
解：，
；
；
【小问2详解】
解：，
函数的值在各自象限内随的增大而减小；
，
；
；
【小问3详解】
解：连接，过点作轴，
，
，；
，
．
【点睛】此题考查了函数性质的应用和图形的分割转化思想，解题的关键是掌握分割的思想