高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程当堂检测题

2.2 直线的方程（精讲）

考点一 直线的方程式

【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)过点，斜率为；

(2)过点，与x轴垂直；

(3)斜率为，在y轴上的截距为7；

(4)斜率为3，在x轴上的截距为；

(5)过点，；

(6)过点，．

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

【解析】(1)因为直线过点，斜率为，所以直线方程为：；

(2)因为直线过点，与x轴垂直，所以直线方程为：；

(3)因为直线的斜率为，在y轴上的截距为7，所以直线方程为：；

(4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：，

又因为直线在x轴上的截距为，所以，所以直线的方程为：；

(5)因为直线过点，，所以直线的方程为：；

(6)因为直线过点，，所以直线方程为：.

【例1-2】（2022·重庆）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），

(1)求AB边所在的直线方程；

(2)求AB边的高所在直线方程.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)因为A（-1，5）、B（-2，-1），

所以由两点式方程可得，化为一般式可得：；

(2)直线AB的斜率为.

所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，

故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.

【例1-3】（2022·江苏）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：

(1)直线在轴上的截距为6；

(2)直线的斜率为2；

(3)直线垂直于轴；

(4)直线经过点．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】(1)因为直线在轴上的截距为6，所以直线一定经过点，则，解得.

(2)当时，斜率不存在，不合题意；

当时，把直线方程化为斜截式，

因为斜率为2，所以，解得.

(3)因为直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在，所以，即.

(4)因为直线经过点，所以，解得.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.

(1)直线过点，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；

(3)直线过点，.

【答案】(1)或(2)或(3)

【解析】(1)，，则直线方程为，

即或.

(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为，可设直线方程为，

代入点，可得，解得或，

所以所求直线方程为或，

即所求直线方程为或.

(3)直线斜率，则所求直线方程为，整理得.

2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是､､.

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)因为､，所以，

所以直线的方程为，即；

(2)因为，､，所以的中点为，

所以，所以中线的方程为，即；

考点二 直线过定点

【例2】（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k为何值，直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，可化为，则过定点故选：B

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二）无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】原方程可化为，由直线恒过定点可知，

，解得，所以直线恒过定点故选：B

2．（2021·广东佛山·高二期中）直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】由，得，令，得.故选：A

3．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m、，直线必过定点______．

【答案】

【解析】由原方程可得对于任意m、成立，

由，解得，

故直线必过定点.故答案为：

考点三 直线所过象限

【例3】（2022·江苏·高二单元测试）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（       ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【解析】因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，

所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】不过第二象限,，解得，故答案为：

2．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．

【答案】三

【解析】直线可化为，即

因为，，所以直线的斜率为负，纵截距为正

即直线通过第一、二、四象限，不通过第三象限.故答案为：三

3．（2022·江苏·高二）（多选）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（       ）

A．若，则直线l不过原点

B．若，则直线l必过第四象限

C．若直线l不过第四象限，则一定有

D．若且，则直线l不过第四象限

【答案】ABD

【解析】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；

对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；

对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；

对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.

故选：ABD.

考点四 直线与坐标轴围成的三角形面积

【例4】（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．

(1)若直线的倾斜角为，求的值；

(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．

【答案】(1)；(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.

【解析】(1)由题意可得.

(2)在直线的方程中，令可得，即点，

令可得，即点，

由已知可得，解得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.

【一隅三反】

1．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l过点.

（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；

（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.

【答案】（1）或；（2）

【解析】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，

所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，

所以直线在坐标轴上截距分别为，，

所以，整理得，解得或

所以直线l方程为或.

（2）由（1）知，

因为，

所以面积为，

当且仅当，即时等号成立，

所以面积最小值

2．（2022·广东）已知直线l：．

（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；

（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

【答案】（1）；（2）的最小值为4，直线l的方程为．

【解析】（1）解：由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，．

直线不经过第二象限，，解得

当时，直线变为满足题意．

综上可得：k的取值范围是；

（2）解：由直线l的方程可得，．

由题意可得，解得．

当且仅当时取等号．

的最小值为4，此时直线l的方程为．

3．（2021·全国·高二课时练习）已知直线l过点.

（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；

（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值.

【答案】（1）或；（2）最小值为4.

【解析】（1）当直线的截距为时，则

当截距不为时，设直线l的方程为，

把点代入可得，解得，

故直线l的方程为或.

（2）设直线l的方程为，把点P代入可得，

则，即，当，即，时取“”

故，

所以面积的最小值为.

考点五 直线的综合运用

【例5】（2022·云南普洱·高二期末）（多选）已知直线，则（       ）

A．恒过点 B．若，则

C．若，则 D．当时，不经过第三象限

【答案】BD

【解析】直线，则，

由，得，所以恒过定点，所以A错误；

由可得：，所以，B正确；

由可得：，，所以C错误；

由，当时，，不过第三象限；

当时，，不过第三象限，只需要，解得，

所以的取值范围为，所以D正确；故选：BD.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）下列有关直线的说法中不正确的是（       ）

A．直线的斜率为 B．直线的斜率为

C．直线过定点 D．直线过定点

【答案】ABC

【解析】当时，直线的方程可变为，其斜率为，过定点，

当时，直线的方程变为，其斜率不存在，过点，

故AB不正确，D正确，

将点代入直线方程得，

故只有当时直线才会过点，即C不正确，

故选：ABC．

2．（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（       ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【解析】由题意直线过定点，

直线可变为，所以该直线过定点，

所以，

又，

所以直线与直线互相垂直，

所以，

所以即，

当且仅当时取等号,

所以，，即面积的最大值是.

故选：D.

3．（2022·全国·高二）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析由题知直线的斜率存在，且不过原点，

所以设直线方程为，，

所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为

所以面积为，即，

所以或,

解方程，即，解得，

解方程，即，解得

所以这样的直线有3条.

故选：C.