【备战中考】2022-2023学年中考数学真题汇编专题03 整式的加减-【题型方法解密】

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整式的加减

【知识要点】
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
【注意】
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：

列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
【解题思路】用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ）

A．252 B．253 C．336 D．337
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ）
A．98 B．100 C．102 D．104
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
易错点总结：


考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ）
A． B． C． D．16
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ）
A． B．0 C．2022 D．4044
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（    ）
A． B． C． D．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．


变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．



易错点总结：


知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
【注意】：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
【易错点】：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
【易错点】：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
【扩展】
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（    ）
A．3 B．a C． D．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ）
A． B． C． D．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
易错点总结：


考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）

A．32 B．34 C．37 D．41
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ）
A．0 B．1 C．7 D．8
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．




易错点总结：


考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ）

A．297 B．301 C．303 D．400
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是 _____．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．

变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.

变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．

易错点总结：


知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
【注意】
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
【解题思路】正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（    ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
易错点总结：


合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
【注意】
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
【解题思路】正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是(   )A． B．
C． D．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（    ）
A．－a B．a C．3a D．0
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（    ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
易错点总结：


去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
【注意】
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
【解题思路】①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点总结：


整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
【注意】多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．

变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
易错点总结：


考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．



变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．



易错点总结：


考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．

变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．

(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
易错点总结：

整式的加减

【知识要点】
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
【注意】
1)代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2)代数式中不含有=、、≠ 等。
3)对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
4)单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的分类：

列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲。
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“· ” 。
(2)数字通常写在字母前面。
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数。
(4)除法常写成分数的形式。
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
考查题型一 列代数式
【解题思路】用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键。
典例1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C
变式1-1．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ）

A．252 B．253 C．336 D．337
【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．
变式1-2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【详解】观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．故选：B．
变式1-3．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【详解】设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B
考查题型二 代数式求值
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故选：A．
变式2-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ）
A． B． C． D．16
【详解】∵a，b互为相反数，∴，
∵c的倒数是4，∴，∴，故选：C
变式2-2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
变式2-3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
变式2-4．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【详解】解：＝＝＝
＝＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
变式2-5．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
【详解】解：∵，∴，
∴
变式2-6．（2022·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值．
【详解】故代数式的值为．
知识点二 单项式
单项式的概念：由数字和字母相乘组成的式子叫做单项式。
【注意】：
1）单项式中数字与字母、字母与字母之间只能是乘法运算；
2）单独的一个数或字母也是单项式。
单项式的系数的概念：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
【易错点】：
1）一个单项式中只含有字母因数，它的系数是1或者-1，不能认为是0。
2) 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。例如：-（3x）的系数是-3
4）圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
单项式的次数的概念：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
【易错点】：
1）计算单项式的次数时，应计算所有字母的指数和，任意漏掉字母指数是1的情况。如单项式2x4y2z的次数是字母的指数和，即4＋2＋1=7，而不是6次，应注意字母z的指数是1而不是0。
2) 单项式是一个单独字母时，它的指数是1。
3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14次。
知识点三 多项式
多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。
多项式的项数的概念：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
多项式的次数的概念：多项式里中次数最高项的次数叫多项式的次数；
【扩展】
1. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
2. 5x2+4x+3和x2+2x+1是常见的两个二次三项式。
考查题型三 单项式与多项式的判断
【解题思路】熟练掌握单项式的系数的定义
典例3．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，解得： 故选D
变式3-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（    ）
A．3 B．a C． D．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、是单项式，故本选项不符合题意；故选：C．
变式3-2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．
变式3-3．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ）
A． B． C． D．
【详解】A、是多项式，此项不符题意；B、是二次单项式，此项符合题意；
C、是三次单项式，此项不符题意；D、是一次单项式，此项不符题意；故选：B．
变式3-4．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
【详解】解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：

指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
考查题型四 数字规律探索
数字类问题：观察数字变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
典例4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）

A．32 B．34 C．37 D．41
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
变式4-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
变式4-2．（2022·内蒙古中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【详解】解：观察下列等式：
，，，，，，，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
，
每4个数一组进行循环，
所以，
而，
，
所以的结果的个位数字是7．
故选：C．
变式4-3．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
【详解】原数据可转化为：，
∴，，，..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．故选：A．
变式4-4．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，
∵，∴2+=7，∴a4=，
∵，∴a5=，同理可求a6=，
∴an=，
∴a2022=，
故答案为：，．
变式4-5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
【详解】解：∵，，，…，∴第n个数是，当n＝30时，==，故答案为：．
变式4-6．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【详解】数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
变式4-7．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：


，
故等式成立．
考查题型五 图形规律探索
图形类问题：从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
典例5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ）

A．297 B．301 C．303 D．400
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
变式5-1．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
【详解】第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时

∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
变式5-2．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是 _____．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
变式5-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．

【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
变式5-4．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.

【详解】解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
变式5-5．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
变式5-6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．

【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1），
3节链条的长度是（2.8×3-1×2），
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91
故答案为：91
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
【注意】
1）判断同类项时，几个单项式中所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。
2）同类项与系数、字母的排列顺序无关。
考查题型六 同类项的判断
【解题思路】正确理解同类项的定义是解题的关键
典例6．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（    ）
A． B． C． D．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
变式6-1．（2021·广西河池·中考真题）下列各式中，与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】与是同类项的特点为含有字母，且对应的指数为2，的指数为1,
只有A选项符合；故选A．
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
【注意】
1）系数相加时，一定要带上各项前面的符号。
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。
3）合并同类项的结果可能是单项式，也可能是多项式。
考查题型七 合并同类项
【解题思路】正确理解同类项的定义是解题的关键
典例7．（2022·江苏泰州·中考真题）下列计算正确的是(   )
A． B．
C． D．
【详解】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A．
变式7-1．（2022·湖北荆州·中考真题）化简a－2a的结果是（    ）
A．－a B．a C．3a D．0
【详解】解：；故选：A．
变式7-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（    ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【详解】解：原式，故选：C．
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
【注意】
1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项。
5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
考查题型八 去（添）括号
【解题思路】①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值；③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
典例8．（2021·浙江杭州·中考真题）（ ）
A． B．2021 C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B．
变式8-1．（2021·河北·中考真题）不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】解：A. =，故选项A不符合题意；B. ，故选项B不符合题意；C. ，故选项C不符合题意；D. ，故选项D符合题意，故选：D．
变式8-2．关于进行的变形或运算：
①；②；③；④．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【详解】
解：①，变形正确；②，变形正确；
③，原变形不正确；④，原变形不正确；∴①②正确，③④错误，故选B．
变式8-3．（2020·湖南模拟）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A、原式＝−a−2，故本选项变形错误．B、原式＝−a＋，故本选项变形错误．
C、原式＝−（a−1），故本选项变形正确．D、原式＝−（a−1），故本选项变形错误．故选：C．
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
【注意】多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
考查题型九 整式的加减
典例9．（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A．
变式9-1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．

【详解】解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
变式9-2．（2022·湖南永州·中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
【详解】解：∵单项式与是同类项，∴．故答案为：．
变式9-3．（2022·上海·中考真题）计算：3a－2a＝__________．
【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a
变式9-4．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
考查题型十 整式加减中的化简求值
典例10 （2022·湖北黄冈·中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
【详解】解：原式＝4xy－2xy+3xy＝＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，原式＝．
变式10-1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
考查题型十一 整式加减的实际应用
典例11．（2021·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），故选：D．
变式11-1．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．

【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
变式11-2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．

(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．