【备战中考】2022-2023学年中考数学真题汇编专题06 分式-【题型方法解密】

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分式【知识要点】知识点一：分式的基础概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母。【判断分式的注意事项】1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。与分式有关的条件：考查题型一 分式的意义题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．易错点总结：考查题型二 分式有意义的条件题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（    ）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）A． B．C．且 D．题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ）A．且 B．且 C． D．且题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ）A． B． C． D．≤-1易错点总结：考查题型三 分式值为0的条件题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（　　）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（    ）A．1 B． C． D．0题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．易错点总结：知识点二：分式的形式（基础）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。【注意】在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。【拓展】分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB=−A−B=−−AB=−A−B约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________【注意】1）约分前后分式的值相等.2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。考查题型四 求分式的值题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（    ）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．易错点总结：考查题型五 约分题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（    ）A． B． C． D．题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．易错点总结：知识点三 分式的运算类型一 分式的乘除1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）类型二 分式的加减法1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn【注意】1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。类型四 分式混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。考查题型六 分式的乘除运算题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（    ）A． B． C． D．题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（　　）A． B．C． D．题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．易错点总结：考查题型七 分式的加减运算题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（    ）A．1 B． C． D．题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ）A． B． C． D．题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是(   )A．① B．② C．③ D．①或②题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（    ）A． B． C．2 D．题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：(1)；(2)．题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．易错点总结：考查题型八 分式的加减乘除混合运算题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（    ）A．1 B． C． D．题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(   )A． B． C． D．题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（    ）A． B． C． D．题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．第一步第二步第三步第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值．题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．易错点总结：考查题型九 分式化简求值题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（    ）A．－2 B．2 C．－4 D．4题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．易错点总结：整数指数幂am⋅an=am+n amn=amnabn=anbn am÷an=am−n（a≠0）abn=anbn a−n=1an（a≠0）a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。考查题型十 零指数幂题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．易错点总结：考查题型十一 负整数指数幂题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；__________________________________________________________________________请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．易错点总结：考查题型十二 负指数幂与科学记数法题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（    ）A． B． C． D．题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（    ）A． B． C． D．题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（    ）A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．易错点总结：要求表示分式有意义分母≠0B≠0分式无意义分母=0B=0分式值为0分子为0且分母不为0A=0且B≠0分式值为正或大于0分子分母同号 A>0,B>0 或A0，∴，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．【名师点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．【答案】【提示】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】=故答案为【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．【答案】 【提示】通过探索数字变化的规律进行提示计算．【详解】解：；；；，，当时，原式，故答案为：．【名师点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）【提示】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．【详解】（1）；（2）∵，∴原式=．【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中【答案】【提示】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．【详解】＝ ＝ = =-a+1；当a=3时，原式=-3+1=-2．【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【提示】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．【详解】解：原式当时，原式，故答案是： ．【名师点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．第一步第二步第三步第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：【提示】任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．任务二： ．【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值．【答案】（1）；（2）．【提示】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，∴．【名师点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】，10．【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．【详解】解：原式= ==2(x+4)=2x+8当-2，0，2时，分式无意义当x=1时，原式=10．【名师点拨】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．考查题型九 分式化简求值题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【提示】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可【详解】∵x和y互为倒数∴故选：B【名师点拨】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（    ）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】D【提示】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：原式•＝2（m-n），当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D．【名师点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．【答案】15【提示】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．【详解】解：==a(a-2)=a2-2a，∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．【名师点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，1【提示】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．【详解】解：，∵，∴原式．【名师点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中【答案】，0【提示】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．【详解】解：；∵，∴原式．【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．【答案】，当x=2时，原分式的值为【提示】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．【详解】解：原式=；由可得该不等式组的解集为：，∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，当x=-1，0，1时，分式无意义，∴x=2，∴把x=2代入得：原式=．【名师点拨】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为．【提示】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．【详解】解：原式，，，又为满足的整数，或，当时，原式，当时，原式，综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．【答案】4【提示】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；【详解】解：原式；【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．整数指数幂am⋅an=am+n amn=amnabn=anbn am÷an=am−n（a≠0）abn=anbn a−n=1an（a≠0）a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。考查题型十 零指数幂题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．【答案】5【提示】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．【详解】解：，故答案为：5．【名师点拨】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）【答案】< 【提示】先计算，，然后比较大小即可．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：0,B>0 或A