4.9三角形中的最值、范围问题（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.9  三角形中的最值、范围问题

【题型解读】

【题型一　与角有关的最值、范围问题】　

1.（2022·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．

又cos C＝＝≥＝.

当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值.

当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．

所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．

故选：.

2.（2022·全国·高三专题练习）在中，内角、、的对应边分别为、、.已知.

（1）若，求.        （2）求的取值范围.

【答案】（1）      （2）

【解析】（1）由正弦定理得：，

∵，

∴，

即，

∴，∵，∴，

∵，∴

（2）由（1）得，

∴

又，∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，

则的取值范围是

3．（2022·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】因为，

所以.

因为,所以.

所以

因为，所以，所以，

所以，所以.

即的最大值为.

故答案为：.

4．（2022·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．

【答案】

【解析】解：因为，

所以，由余弦定理得，得，

由余弦定理可得

当且仅当 , 即时取等号 , 此时取得最小值，

根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为   

所以的最大值是

故答案为 :

5．（2022·全国高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，的面积记为，满足

．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）      （2）

【解析】（1）∵，

∴，所以，

由为三角形内角得；

（2）由正弦定理得，

∴，∴，

由得，

∴，．

故的取值范围．

6．（2022·山东潍坊高三期末）已知锐角中，角，，所对的边分别是，，，

（1）求角的大小；       （2）求的取值范围

【答案】（1）      （2）

【解析】（1）∵，

结合余弦定理，可得：，

∴，∴

又∵，∴

（2）因为，，所以，∴，

所以

.

∵时候锐角三角形，∴，解得

∴，∴，∴，

∴，综上，的取值范围是

【题型二　与边有关的最值、范围问题】

1.（2022·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】依题意，所以，

设，则

，

化简得，

当且仅当时等号成立.

故选：A

2.（2022·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵角A，B，C成等差数列，∴，

∵，∴，∴.

根据正弦定理得：

＝

，

∵，∴，∴，∴.

故选：A.

3．（2022·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．

（1）若，求c的值；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．

又，∴．

由正弦定理，得，即．

由余弦定理，得，

即，解得．

（2）由正弦定理，得，

∴，．

∴

．

由，得．

所以当时，即时，．

4．（2022·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（       ）

A．7 B． C． D．

【答案】B

【解析】设，由正弦定理知，因此

，

故

，其中，

所以当时，，取得最大值，且最大值为，

故选：B.

5. （2022·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，.已知.

（1）求角的大小.     （2）若，求的取值范围.

【答案】（1）      （2）

【解析】（1）由题意得，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，∴，∵，∴，

∵，∴，

（2）由（1），∵，

∴由余弦定理可得：，

由，∴，即，当且仅当等号成立

又由，得，∴

【题型三　与周长有关的最值、范围问题】

1.（2022·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________

【答案】

【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，

则为的重心，

因为，故，则.

，

，

所以，

即，

所以，，

，当且仅当时，等号成立.

因此，周长的最大值为.

2.（2022·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.

(1)求；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，

所以，

又，所以，

(2)解：由正弦定理可得，所以，，

所以的周长

，

因为，所以，所以

所以，

即，

所以周长的取值范围为．

3．（2022·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求B；

（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得．

因为，所以sinA＞0，所以，

所以，因为，

所以，即．

（2）依题意，即ac＝4．

所以当且仅当时取等号．

又由余弦定理得

∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．

所以△ABC的周长最小值为．

4．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.

【答案】9

【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，

∴b＝2sin B，c＝2sin C，

则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin

＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，

∵B∈，所以，

∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9.

故答案为：9.

5. （2022·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．

（1）求角C的大小；

（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

【答案】（1）C＝      （2）

【解析】（1）由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，

即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，

由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，

由余弦定理得cos C＝＝＝－，

又∵0<C<π，∴C＝．

（2）由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，

则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋

＝2＋＝2sin＋．

∵0<A<，∴＜A＋＜，∴<sin≤1，

∴2<2sin＋≤2＋，∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．

【题型四  与面积有关的最值、范围问题】

1.（2022·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．

(1)求角A；

(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．

【答案】(1)   (2)

【解析】(1)因为，由正弦定理得：．

又，所以，

即：，得出，又，所以；

(2)

在中，由余弦定理得：       ①

又因为，所以，且，即，

由余弦定理，得             ②

将①②联立得：，即，（当且仅当时等号成立）

．

2.（2022·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得：，；

，，，解得：，

；

由正弦定理得：；

为锐角三角形，，解得：，

，，，

.

故选：D.

3．（2022·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.

（1）求角C；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）      （2）

【解析】（1）由，可得，，

因为，所以，.

（2）由，得，

由基本不等式得：，即，

所以，

当时，面积的最大值为.

4.（2022·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】，因为，所以，

由正弦定理得，，所以.

因为是锐角三角形，所以.所以解得，

所以.由正弦定理，得，

所以.

所以的面积.

故答案为：.

5.（2022·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）        （2）

【解析】（1）由正弦定理得，

由于，，

所以，

即，

则，又，所以．

（2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ，

从而，

所以的面积取得最大值．