第4章两个原理的应用同步练习（湘教版选择性必修第一册）
展开培优课 两个原理的应用
A级必备知识基础练
1.某班要从a,b,c,d,e共5个人中选1名班长,1名副班长,但a不能当副班长,不同选法的种数是( )
A.20 B.16
C.10 D.6
2.现有4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色,要求相邻的两个字涂色不同,则不同的涂色种数为( )
A.27 B.54
C.81 D.108
3.若一个三位数的自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”,例如232,114等,则不超过200的“单重数”有( )
A.22个 B.24个
C.26个 D.28个
4.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A.36个 B.42个
C.48个 D.120个
5.(多选题)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人,女生3人,则下列说法正确的是 ( )
A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长,共有100种不同的选法
B.从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,共有21种不同的选法
C.从中选1人参加数学竞赛,共有10种不同的选法
D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队,每人限报其中的1个队,共有100种不同的报名方法
6.如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有 种.
7.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色.如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
B级关键能力提升练
8.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A.512个 B.192个
C.240个 D.108个
9.用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.120 B.160
C.180 D.240
10.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为 ( )
A.24 B.48
C.96 D.120
11.一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(735,414等),那么这样的三位数共有( )
A.240个 B.249个
C.285个 D.330个
12.甲,乙,丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有 种.
13.如图所示的A,B,C,D按照下列要求涂色.
(1)用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案?
(2)若有3种不同颜色,恰好用2种不同颜色涂完四个区域,且相邻区域不同色,共有多少种不同的涂色方案?
C级学科素养创新练
14.(2022江苏苏州相城高二期中)在埃及金字塔内有组数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,将所有可能的三位数x按从小到大依次排序,则第12个三位数x为( )
A.214 B.215
C.248 D.284
参考答案
培优课 两个原理的应用
1.B 分两类进行:第一类,当a当班长时,共有1×4=4种选法;第二类,当a不当班长时,又因为a也不能当副班长,则共有4×3=12种选法.
根据分类加法计数原理,共有4+12=16种选法.故选B.
2.D 第一步,给“严”字涂色的方法有4种;第二步,给“勤”字涂色的方法有3种;第三步,给“活”字涂色的方法有3种;第四步,给“实”字涂色的方法有3种.由分步乘法计数原理可知,共有4×3×3×3=108种.故选D.
3.D 依题意,当两个数字一样同为0时,有100,200,有2个;两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个;两个数字一样同为2时,有122,有1个;同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时,各1个.
综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28个.
4.B 依题意,无重复数字的五位偶数分两类:第一类,若五位数的个位数是0,则可以组成4×3×2×1=24个无重复数字的五位偶数;第二类,若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5,有3种选择,中间的三个位置有3×2×1=6种排法,可以组成3×6=18个无重复数字的五位偶数.
由分类加法计数原理,可得所有无重复五位偶数的个数为24+18=42.故选B.
5.BC 对于A,选1人做正组长,1人做副组长需要分两步:
第一步,先选正组长有10种选法;第二步,再选副组长有9种选法.
根据分步乘法计数原理,共有10×9=90种不同的选法,故A错误;
对于B,从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,则共有7×3=21种不同的选法,故B正确;
对于C,选1人参加数学竞赛,既可以选男生,也可以选女生,则共有7+3=10种不同的选法,故C正确;
对于D,每人报名都有2种选择,共有10人,则共有210=1024种不同的报名方法,故D错误.故选BC.
6.12 先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.
7.解分两类进行:第一类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;
当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法;第4个小方格有3种不同的涂法.
由分步乘法计数原理,可知有5×12×3=180种不同的涂法;
第二类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法;由于相邻两格不同色,第4个小方格也有4种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.
由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.
8.D 能被5整除的四位数,可分为两类:
第一类,个位为0,共有5×4×3=60个没有重复数字,能被5整除的四位数;
第二类,个位为5,共有4×4×3=48个没有重复数字,能被5整除的四位数.
由分类加法计数原理,共有60+48=108个没有重复数字,能被5整除的四位数.
9.C 分两类.第一类:若A,C的颜色相同时,第一步,涂A,C区域,有5种方法;第二步,涂B区域,有4种方法;第三步,涂D区域,有3种方法.则共有5×4×3=60种涂法.第二类:若A,C的颜色不同时,第一步,涂A区域,有5种方法;第二步,涂B区域,有4种方法;第三步,涂C区域,有3种方法;第四步,涂D区域,有2种方法.则共有5×4×3×2=120种方法.根据分类加法计数原理,共有60+120=180种方法.
10.C 第一类,若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有4×3×2=24种涂法;
第二类,若颜色A,D不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不同时,B,C只有一种涂法,共有4×3×2×(2+1)=72种涂法.
根据分类加法计数原理可得,共有24+72=96种涂法.故选C.
11.C ∵十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字,
∴当十位数字是0时,有9×9=81种结果;当十位数字是1时,有8×8=64种结果;
当十位数字是2时,有7×7=49种结果;当十位数字是3时,有6×6=36种结果;
当十位数字是4时,有5×5=25种结果;当十位数字是5时,有4×4=16种结果;
当十位数字是6时,有3×3=9种结果;当十位数字是7时,有2×2=4种结果;
当十位数字是8时,有1种结果.
根据分类加法计数原理得,共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285个满足条件的三位数.故选C.
12.20 分三类:第一类,若甲在周一,则乙、丙有4×3=12种排法;
第二类,若甲在周二,则乙、丙有3×2=6种排法;
第三类,若甲在周三,则乙、丙有2×1=2种排法.
根据分类加法计数原理,不同的安排方法共有12+6+2=20种.
13.解(1)先涂A区域,有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,
由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2=24种不同的涂色方案.
(2)若恰好用2种不同颜色涂四个区域,则A,C区域必同色,且B,D区域必同色.分两步进行:第一步,从3种不同颜色中任取2种颜色,共有3种不同的取法;第二步,用所取的2种颜色涂四个区域,共2种不同的涂法.
根据分步乘法计数原理,恰好用2种不同颜色涂完四个区域,共有3×2=6种不同的涂色方案.
14.C 根据题意,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,x从小到大排列为124,125,142,147,152,157,174,175,214,215,241,248,故第12个三位数x为248.故选C.
