2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     复数的实部与虚部之和为(    )

A. 1 B.  C. 3 D.

3.     “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     若为圆的弦MN的中点，则直线MN的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.     若函数与函数都在区间上单调递增，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知堑堵中，，，若堑堵外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知，则的取值可以是(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

10. 随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
    
    下列结论错误的是(    )

A. 该款服装这3个月的销售额逐月递减
B. 该款服装这3个月的销售总额为万元
C. 该款服装8月份和9月份的销售额相同
D. 该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额

11. 已知函数，则下列结论正确的是(    )

A. 若没有零点，则
B. 若恰有2个零点，则
C. 若恰有3个零点，则或
D. 若恰有4个零点，则

12. 已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为(    )

A. 1 B. e C. 4 D.

13. 已知向量，且，则__________.
14. 的展开式中的系数是__________用数字作答
15. 在三棱锥中，底面ABC，，，，则PB与平面PAC所成角的正切值为__________.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l：与抛物线C交于点A在第一象限，B两点，且，则为坐标原点的面积是__________.
17. 等差数列的前n项和为，，
    求的通项公式；
    若，求数列的前n项和
18. 某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量单位：度的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．
    从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；
    从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC的中点．
    证明：平面
    若，，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．

20. 如图，某水域的两条直线型岸边，的夹角为，某渔民准备安装一直线型隔离网分别在，上，围出养殖区
    若，求养殖区面积单位：的最大值；
    若是锐角三角形，且，求养殖区面积单位：的取值范围．

21. 已知函数
    当时，求曲线在处的切线方程；
    若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线
    求C的方程，并说明C是什么曲线；
    过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为证明：存在定点N，使得为定值．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，属于基础题．
求出集合A，利用并集定义能求出

【解答】

解：，
，

故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的运算法则，以及复数实部和虚部的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数实部和虚部的定义，即可求解．
【解答】
解：，
复数z的实部和虚部之和为
故选：  

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了充要条件的判断，指数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数的性质，利用充要条件的定义即可判断答案．

【解答】

解：由，可得，能够推出是，
故“”是“”的充分条件，
由，可得，即，但不能够推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
综上，“”是“”的充分不必要条件，
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直于弦MN所在的直线是解本题的关键．
由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．

【解答】

解：圆化为标准方程为，圆心，半径为4，
为圆的弦MN的中点，
圆心与点P确定的直线斜率为，
弦MN所在直线的斜率为，
弦MN所在直线的方程为，即
故本题选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

设双曲线方程为：，由已知可得a，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解b，即可得到双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查运算能力和方程思想在解题中的体现，属于中档题．

【解答】

解：由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面的一个交点，
设双曲线的方程为：
花瓶的最小直径，则，
由已知可得，
故，解得，
该双曲线的方程为：
故选：
 

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．
可看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．

【解答】

解：因为，，所以，
因为，所以，
所以，故
故选：

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的单调性的应用，根据三角函数的单调性求出单调区间是解决本题的关键，是中档题．
分别求出和的单调递增区间，然后求出公共部分，进行求解即可．

【解答】

解：由，，得，，即的增区间为，，
由，，得，，即的增区间为，，
若和在区间上单调递增，
不妨设，，
则的增区间为，的增区间为，
则同时为增函数的区间为，
则最大值为，
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了棱柱的体积计算，涉及利用基本不等式求最值，属于中档题.
分别取BC，的中点E，F，已知EF的中点O为堑堵外接球的球心，设，则，由勾股定理可求得，结合堑堵外接球的表面积可求出，再利用基本不等式即可求出堑堵体积的最大值．

【解答】

解：分别取BC，的中点E，F，连接EF，如图所示，
，，
点E，F分别为和外接圆的圆心，
设EF的中点为点O，则点O为堑堵外接球的球心，
设堑堵外接球的半径为R，连接OA，AE，
设，则，
在中：，，，
，
又堑堵外接球的表面积是，
，
，，
设，，则，
堑堵的体积，当且仅当时，等号成立，
即堑堵体积的最大值是，
故选

9.【答案】BCD 

【解析】解：，，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为6，
故的取值可以是6，也可以是7或8，
故选：
利用基本不等式的性质即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
根据服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比的条形图和折线图，能求出结果．

【解答】

解：由题意7月份、8月份、9月份的销售额分别是50万元，40万元，48万元，
由，，，
该款服务7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元，故A错误；
该款服装这3个月的销售总额为万元，故B错误；
该款服装8月份和9月份的销售额相同，都是6万元，故C正确；
该款服装8月份和9月份的销售总额等于7月份的销售额，故D错误．
故选

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点问题，属于中档题．
当时，，所以不是的零点；当时，则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，结合图象即可作答．

【解答】

解：当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，
作出函数的大致图象如图所示，

由图象知：要使与函数没有交点，则a的取值范围为，
故若没有零点，则，故A正确；
由图象知：要使与函数有2个交点，则a的取值范围为，
故若恰有2个零点，则，故B错误；
由图象知：要使与函数有3个交点，则或，故若恰有3个零点，则或，故C正确；
由图象知：：要使与函数有4个交点，则a的取值范围为，故若恰有4个零点，则，故D错误．
故选：

12.【答案】CD 

【解析】解：恒成立，
恒成立，
令，
，可得，
当x在时，，递减；
当x在时，，递增；
故的最大值为，
，
故选：
把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数的最大值，得出答案．
本题考查了恒成立问题的转化和利用导函数判断函数的最值．属于常规题型，应熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
根据题意，由向量的坐标计算公式可得，又由数量积的计算公式可得，解可得k的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，向量，则
因为，所以，
即，解得；
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

【解答】

解：因为的展开式的通项为，
令，得，
则，
所以的系数为，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用空间向量法求线面角的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算求解即可．

【解答】

解：以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，
射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：

则，，，
所以，
由x轴平面PAC得平面PAC的一个法向量为，
设直线PB与平面PAC所成的角为，
则，，
，，
所以PB与平面PAC所成角的正切值为
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

求出，直线l的方程为，联立，得，利用韦达定理，结合题设条件能求出为坐标原点的面积．
本题考查三角形面积的求法，考查抛物线性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理等等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：抛物线C：的焦点为F，，
过点F的直线l：与抛物线C交于点A在第一象限，B两点，
，解得，直线l的方程为，
联立，得，
设，，则，，
，，，，
，解得，
，
为坐标原点的面积是：

故答案为：

17.【答案】解：设数列的公差为d，
因为，，所以，解得，，
故
，
所以 

【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求和，属于基础题．
根据等差数列的通项公式、前n项和公式求得首项和公差d，从而得解；
采用裂项相消求和法，即可得解．
 

18.【答案】解：从这15天中随机抽取4天的情况有种，
15天中有5天日用电量超标，其中符合条件的情况有种，
故所求概率
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：

故 

【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
从这15天中随机抽取4天的情况有种，其中符合条件的情况有种，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
 

19.【答案】证明：取CD的中点G，连接EG，
因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面
因为，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面
因为EG，平面EFG，且，所以平面平面
因为平面EFG，所以平面

解：以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为F是棱PC的中点，所以，
所以，，，
设平面AEF的法向量为，
则，
令，得
设平面CDF的法向量为，
则，
令，得
设平面AEF与平面CDF的夹角为，
则
所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为 

【解析】利用线面平行，面面平行的判定定理证得平面平面PAD，再利用面面平行证线面平行即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，面面角的计算等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：，，
由余弦定理可得，
即，
，当且仅当时等号成立，
，
即
又，
即养殖区面积的最大值为，此时；
，，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
是锐角三角形，
，即，
，
，
则，即，
，
面积的取值范围是 

【解析】本题主要考查了正、余弦定理以及基本不等式，属于中档题．
由题意以余弦定理，均值定理去求面积的最大值即可解决；
由题意利用三角形的面积公式可得的面积，由正弦定理，三角函数恒等变换可得，可求范围，利用正切函数的性质即可求解．
 

21.【答案】解：时，，
，
而，，
故切线方程是：，即；
若关于x的不等式在上恒成立，
则在恒成立，
，，
设，
则，
时，，即在上单调递减，
则，
当，即时，，故在上单调递减，
故恒成立，故符合题意；
当，即时，
，
故存在使得，
当时，单调递增，，故不符合题意.
综上所述，，即a的取值范围是 

【解析】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
代入a的值，求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
对求导，对a分类讨论即可.
 

22.【答案】解：由题得，，
化简得，
所以C是中心在原点，焦点在x轴上，不含左、右顶点的椭圆．
证明：由知直线l与x轴不重合，可设l：，
联立，得
设，，
则，，，
所以
因为，，所以直线QG的斜率为，
所以直线QG的方程为，所以直线QG过定点
因为，所以为直角三角形，
取OH的中点，则，即为定值．
综上，存在定点，使得为定值． 

【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题．
由题得，，化简即可；
可设l：，，，联立方程可得，，，可得直线QG过定点，，为直角三角形，可得结论．