2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷（含答案解析）01

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2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

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这是一份2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了5，5D，【答案】C，【答案】A，【答案】B，【答案】CD等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三（上）期末数学试卷

已知全集，集合，，则

A. B. C. D.

设，则( )

A. B. C. D.

等比数列的前n项和为，，，则公比( )

A. B. C. D.

某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级选修课的成绩分为1，2，3，4，5，共五个等级的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是( )

A. 3，5 B. 3，3 C. ，5 D. ，4

已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为( )

A. B. C. D.

已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过E的下顶点C，则E的离心率为( )

A. B. C. D.

酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，若他想要在不违规的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数为参考数据：，( )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

已知实数a，b满足，，则( )

A. B. 0 C. 1 D. 2

下列式子等于的是( )

A. B.
C. D.

设，，且，则“”的一个必要不充分条件可以是( )

A. B. C. D.

若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )

A. B.
C. ， D.

已知定义在上的函数，( )

A. 若恰有两个零点，则的取值范围是
B. 若恰有两个零点，则的取值范围是
C. 若的最大值为，则的取值个数最多为2
D. 若的最大值为，则的取值个数最多为3

已知平面向量，满足，则与夹角的大小为__________.
将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为__________.
根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为__________.
已知P为正方体表面上的一个动点，，M是棱AB延长线上的一点，且，若，则动点P运动轨迹的长为______.
已知在数列中，，，且该数列满足
求的通项公式；
已知是数列的前n项和，且，求
的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知
求
____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上．
为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量单位：近似服从正态分布，如图所示，已知，

若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下．

重量范围单位：
个数	2	4	2

为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，
证明：；
若平面平面ACE，求二面角的余弦值．

已知函数，
当时，讨论的单调性；
当时，，求a的取值范围．
如图，已知双曲线，过向双曲线C作两条切线，切点分别为，，且，
证明：直线PA的方程为
设F为双曲线C的左焦点，证明：

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用交集定义求出，再由补集定义能求出

【解答】

解：全集，集合，，
，
则
故选：

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算性质，考查学生的运算能力，属于基础题．
利用复数的运算性质化简即可求解．

【解答】

解：由题意可得，
故本题选

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．

【解答】

解：因为等比数列中，，，
所以，
则，
则公比
故本题选

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了条形图的应用，考查了中位数和众数的定义，属于基础题．
将甲同学所有选修课成绩等级从低到高依次排序可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数．

【解答】

解：甲同学所有选修课成绩等级从低到高依次为1，2，2，3，3，4，4，5，5，5，
所以甲同学成绩等级的中位数为，
乙同学成绩等级的众数为
故选

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的结构特征、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，从而，由圆锥的体积解得，由此能求出该圆锥的侧面积．

【解答】

解：如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，
由题可知圆锥的轴截面是等边三角形．
所以，圆锥的体积，解得，
所以该圆锥的侧面积为

故选：

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．
求出椭圆的顶点坐标，结合AB的垂直平分线过E的下顶点C，列出关系式，求解离心率即可．

【解答】

解：由题可知，，，所以，则，
解得，所以E的离心率
故选：

7.【答案】C

【解析】解：设至少需经过x个小时，
，即，
两边同时取对数可得，，
故至少需要8个小时．
故选：
设至少需经过x个小时，，即，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查函数性质的应用，考查转化思想，属于中档题．
令，研究函数的性质，即可求解结论．

【解答】

解：令，
则，
是定义域为R的奇函数，
函数，，均为定义域上的增函数，
故在R上单调递增，
实数a，b满足，，
即，，
，
，
即，
故选：

9.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查了余弦的差角公式以及倍角公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
根据余弦的差角公式以及倍角公式化简即可求解．

【解答】

解：因为

，故C正确，
根据余弦的倍角公式可得，故D正确，
其余两项均不正确，
故选：

10.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查必要不充分条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
对于A，“”，，推不出；对于B，，，且，“”，作差法推导出，，推不出；举反例判断C和

【解答】

解：设，，且，“”，
对于A，“”，
，推不出，例如，，
“”的一个必要不充分条件可以是，故A正确；
对于B，，，且，“”，
，
，
，推不出，例如，，
“”的一个必要不充分条件可以是，故B正确；
对于C，“”不能推出，例如，，故C错误；
对于D，“”不能推出，例如，，故D错误．
故选：

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属中档题．
函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则判断存在两个函数值的乘积为即可．

【解答】

解：当时，，
当时，满足条件；
当时，恒成立，不满足条件；
当，时，，
当，满足条件；
当时，，函数单调递增，
且，，
所以存在，，满足条件．
故本题选

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及分类讨论的思想，属于中档题．
若恰有两个零点，则，解得的取值范围，进行分类讨论，借助正弦函数的性质及图象可得结果．

【解答】

解：令，
若恰有两个零点，则，
解得的取值范围是
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，，解得
②当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，
则，
函数与在上的图象如下图所示：

可知存在唯一的，使得
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为
故选：

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
设，由数量积的计算公式可得，可得，由向量垂直的性质可得答案．

【解答】

解：根据题意，设，
则，则有，
可得，即，则与夹角的大小为
故答案为

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出正面向上的硬币枚数为2或者3的概率．

【解答】

解：将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，
则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为：

故答案为：

15.【答案】12

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题．
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标与直线方程，再由抛物线的性质求解光线经过的路程．

【解答】

解：如图，抛物线的焦点坐标为，准线方程为

由抛物线的性质可得，，，
该光线经过的路程为
故答案为：

16.【答案】

【解析】解：因为，M是棱AB延长线上的一点，且，所以，
由勾股定理，可知，
因为，所以点P的轨迹是以M为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示：

所以动点P运动轨迹在平面ABCD上的交的弧线是以M为圆心，
为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；
在平面上的交的弧线是以M为圆心，为半径的圆弧，
其中该圆弧所对圆心角为；
在平面上的交的弧线是以B为圆心，为半径的圆弧，
其中该圆弧所对圆心角为；
所以动点P运动轨迹的长为
故答案为：
由题意可知，且点P的轨迹是以M为球心，为半径的球与正方体表面的交线，作出草图，根据弧长公式即可求出结果．
本题主要考查立体几何中的轨迹问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．

17.【答案】解：由，得，
所以数列是等差数列，设其公差为d，又，，
则，即，
所以，故；
由可知，
所以……
即

【解析】本题考查数列的递推公式，并项求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
由可得，则数列是等差数列，结合，即可求出，进一步即可得到；
由可知，从而利用并项求和法即可求出

18.【答案】解：由，可得，则；
由正弦定理可得，
在中，，
则，
，，
，
选择条件①，在中，，可得，
，，
，
根据辅助角公式，可得，
，
，即，
故
选择条件②
由，得，
，，因此，
整理得，即，则；
在中，，

故
选择条件③
由，
得，
即，
整理得，
由于，，则方程无解，故不存在这样的三角形．

【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用关系式的变换和正弦定理的应用求出结果；
选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果；
选条件②时，利用关系式的整合的应用求出结果；
选条件③时，利用边长的应用和关系式的变换的应用判断出三角形不存在．

19.【答案】解：已知苹果的重量单位：近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，，
所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为
的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故X的分布列为：

X	1	2	3
P

所以

【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．

20.【答案】证明：连接DE，
因为，且D为AC的中点，所以，
因为，且D为AC的中点，所以，
因为平面BDE，平面BDE，且，
所以平面BDE，
因为，所以B，D，E，F四点共面，所以平面BDE，
所以；
解：由可知，
因为平面平面ACE，平面平面，平面ACE，
所以平面ABC，
所以DC，DB，DE两两垂直，
以D为坐标原点，DC，DB，DE为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
从而，，
设平面BCE的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面BCE的一个法向量为，
平面ABC的一个法向量为，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，，
所以二面角的余弦值为

【解析】本题考查线与线垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
由已知可证，，进而可证平面BDE，从而可证；
先证平面ABC，可得DC，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DC，DB，DE为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面BCE，平面ABC的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值．

21.【答案】解：当时，，
令，则，所以在R上单调递增．
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，且
①当时，由可知，
所以，在上单调递增，则，符合题意．
②当时，，不符合题意，舍去．
③当时，令，则，
则，当时，，
所以在上单调递减，
当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的取值范围为