2023辽宁省县级重点高中联合体高一上学期期中考试数学含解析

高一考试数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．命题“，”的否定形式是（    ）．

A．，     B．，或

C．，     D．，或

3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，即，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义．根据“狄利克雷函数”求得（    ）．

A．3    B．2    C．1    D．0

4．函数的部分图象大致是（    ）．

A．B．C．D．

5．已知函数，则函数的定义域为（    ）．

A．   B．   C．   D．

6．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）．

A．4    B．   C．2    D．1

7．已知实数a，b，则“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

8．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）．

A．     B．

C．      D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

10．下列函数中最小值为2的是（    ）．

A．       B．

C．    D．

11．具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是（    ）．

A．       B．

C．      D．

12．已知，若定义域为R的满足为奇函数，且对任意，，均有．则（    ）．

A．的图象关于点对称   B．在R上单调递增

C．      D．关于x的不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．集合，，则集合的子集个数为______．

14．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．

①，，；②在其定义域内单调递减．

15．已知是函数的一个零点，且，，则a的取值范围是______．

16．已知正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数a的取值范围．

18．（12分）

已知命题，，命题，．

（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；

（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．

19．（12分）

在①使“”是“”的充分不必要条件，②使“”是“”的必要不充分条件．这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

定义在R上的函数满足：对任意的，，有，．集合．

请写出一个非空集合B，______．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（12分）

已知是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求在上的【解析】式；

（2）用定义法证明在上单调递增；

（3）求不等式的解集．

21．（12分）

在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为，制动距离为d．已知和d的大小取决于制动时汽车时速v（单位：m/s）和汽车的类型，且，（k为汽车刹车时的对应参数），假设第一阶段和第二阶段汽车均以时速v作匀速直线运动，取，．

（1）已知某汽车刹车时的对应参数，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离；

（2）若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？

22．（12分）

已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数．

（1）求的【解析】式；

（2）已知，对任意的，恒成立，求的最大值．

高一考试数学试卷参考答案

1．C 【解析】本题考查集合的运算，考查逻辑推理的核心素养．

．

2．D 【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养．

特称量词命题的否定是全称量词命题．

3．C 【解析】本题考查函数的求值，考查运算求解能力．

．

4．A 【解析】本题考查函数的图象，考查分类讨论的数学思想．

由题意，函数，

根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项A．

5．D 【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力．

令，解得，

令，则，所以函数的定义域为．

6．C 【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．

由题意得的解集为，

则，且m，是方程的两根，

由根与系数的关系知，解得，，

所以，当且仅当时，等号成立．

7．B 【解析】本题考查充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养．

当时，取，，则不成立；

当时，．故“”是“”的必要不充分条件．

8．A 【解析】本题考查奇函数的应用，考查数形结合的数学思想．

因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也单调递减，且，

所以满足．

9．ABC 【解析】本题考查不等式的性质，考查逻辑推理的核心素养．

因为，所以，，，，故ABC正确．

10．BD  【解析】本题考查函数的最值，考查逻辑推理的核心素养．

对于A选项，当时，，不符合题意；

对于B选项，，当且仅当时，y取得最小值2，符合题意；

对于C选项，因为，所以，不符合题意；

对于D选项，，当时，y取得最小值2，符合题意．

11．ABD 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．

对于A，，满足“倒负”变换；

对于B，，满足“倒负”变换；

对于C，，不满足“倒负”变换；

对于D，，则满足，故满足“倒负”变换．

故选ABD．

12．BD 【解析】本题考查抽象函数的应用，考查逻辑推理的核心素养．

由题可知的图象关于点对称，且在上单调递增，

所以，在R上单调递增，，

则由，得，

所以．故选BD．

13．4 【解析】本题考查集合的关系，考查逻辑推理的核心素养．

由题可知，共有2个元素，所以集合的子集个数为4．

14．（答案不唯一） 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．

取，则，满足①，

在其定义域内单调递减，满足②．

故答案为（答案不唯一）．

15．   【解析】本题考查不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养．

由题可知，则，所以，

又，，化简可得，

所以．

16． 【解析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养．

，当且仅当时，取得最大值，

所以当取得最大值时，，．

此时．

17．解：（1）当时，集合分，，

所以，

则，．

（2）因为，所以，

，解得．所以a的取值范围是．

18．解：（1）当时，不符合题意；

当时，，解得．

综上，a的取值范围为．

（2）当q为真命题时，，，可得，

所以，即a的取值范围为．

当p，q均为假命题时，所以a的取值范围为．

所以若命题p和命题q至少有一个为真命题，则a的取值范围为．

19．解：由题可知在R上单调递增，

令，则在R上单调递增，且，

所以．

若选择条件①．因为“”是“”的充分不必要条件，

所以集合A是集合B的真子集，由此可得符合题意．（答案不唯一）

若选择条件②．因为“”是“”的必要不充分条件，

所以集合B是集合A的真子集，由此可知符合题意．（答案不唯一分）

20．（1）解：令，则，

所以，

因为是定义在R上的偶函数，所以，

则，即在上的解析式为．

（2）证明：，，且，

则．

因为，所以，则，

所以在上单调递增．

（3）解：是定义在R上的偶函数，

由，可得，

又因为在上单调递增，所以，解得，

所以不等式的解集为．

21．解：（12）由题意得，操作刹车的总时间，得，

所以司机操作刹车时，距离障碍物的最小距离．

（2）由题意得，汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离

，得，

又，所以，

得，解得．

故汽车在该条道路的行驶速度应该限速．

22．解：（1）因为为奇函数，

所以，即，

因为为偶函数，所以，即，

解得，所以的解析式为．

（2）由题可得，

令，则，故．

对任意的，，则恒成立，

所以，

所以，此时，

所以，

当，，时，等号成立，

此时成立，

所以的最大值为．