2021-2022学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设，为两个不同平面，直线，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知向量满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 函数，若方程的解为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是(    )

A. 设，则
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为

10. 已知向量，则以下说法正确的是(    )

A.
B. 向量在向量上的投影为
C. 与的夹角余弦值为
D. 若，则

11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是(    )

A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形

12. 下列说法正确的有(    )

A. 若一个圆台的上、下底面半径分别为，，则其内切球的表面积为
B. 正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为
C. 已知边长为的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为
D. 正三棱锥的所有棱长均为，其内切球体积为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，则______．
14. 写出一个同时具在下列性质，且定义域为实数集的函数：______．
    最小正周期为无零点
15. 已知角是第二象限角，，则______．
16. 已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数，是虚数单位．
    若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
    若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
18. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，的面积是，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题．
    求角：
    求．
    条件条件
    注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 在正方体中，、、分别是、和的中点，求证：
    平面D.
    平面平面D.

20. 函数，，函数的最小正周期为．
    求函数的递增区间；
    将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上烡有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，求函数在上的值域．
21. 直四棱柱，底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点．
    求证：平面；
    求三棱锥的体积．

22. 美化环境，建设美好家园，大家一直在行动．现有一个直角三角形的绿地，，计划在区域建设一个游乐场，其中米，米，．
    若米，求的周长；
    设，求游乐场区域面积的最小值，并求出此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．
利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】

解：由于，直线，则成立，
反之若直线，，则或与相交，
“是“”的充分不必要条件．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：因为，，．
所以．
解得．
故选：．
将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，作出圆锥的轴截面，

，设圆柱的底面圆半径为，高为，
圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为，
由题意知，
，
由相似边成比例得，即，
，即，
，
即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为，
故选：．
根据题意画出圆锥的轴截面，结合图形设出圆柱的底面半径和高，以及圆锥的底面半径和高，求出母线长，再列方程求出圆柱的底面半径和圆锥的底面半径之比．
本题考查圆锥的结构特征、轴截面、圆柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题
先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解答】
解：，，
根据题意，增加的水量约为

．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由，
那么：．
故选D．
由，利用构造的思想，利用正切的和与差的公式打开可得答案．
本题主要考查正切的和与差公式和诱导公式的化简，利用了构造的思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：
将函数的图像向左平移个单位，得到
因为该函数关于轴对称，所以，，解得，．
又因为，所以的最小值为．
故选：．
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到
从而有，，再结合，即可得解．
本题主要考查函数的平移变换，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数，
若方程的解为，，
可得，
由，可得，
令，，解得，，
可得，即，
所以，
因为，，
所以，，
由，可得，
所以．
故选：．
由正弦函数的对称性求得的对称轴，结合方程的根的定义和同角的平方关系、三角函数的诱导公式，计算可得所求值．
本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，
则，故A正确，
对于，点的坐标为，
则，，
故对应的点在第三象限，故B正确，
对于，复数，则为纯虚数的充要条件是且，故C错误，
对于，设，
，
，
点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：．
对于，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解，
对于，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解，
对于，结合纯虚数的定义，即可求解，
对于，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，A错误，
，，，，
向量在向量上的投影为，B正确，
，，，，又，
，C正确，
，，，D正确，
故选：．
利用平面向量的数量积运算判断，利用投影公式判断，利用夹角公式判断，利用向量的共线判断．
本题考查平面向量的数量积运算，投影公式，夹角公式，向量的共线判断，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：若，则为等腰三角形，故A正确；
对于：若，则，利用正弦定理：所以，故B正确；
对于：若，，，则符合条件的有一解，故CC错误；
对于：若，利用正弦定理：所以，故，所以，则是钝角三角形，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的值，正弦定理和余弦定理的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，球内切于圆台的轴截面如图：

其中，，所以，
所以，
因为为球的直径，所以球的半径为，其表面积为，故A正确；
对于，分别取线段，，的中点为，，，

则经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，
其边长为，面积为，故B错误；
对于，因为边长为的菱形中，，所以菱形的面积为，
所以用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为，故C正确；
对于，球内切于正三棱锥的轴截面为：

其中为该三棱锥的高，为该三棱锥的斜高，，为球的半径，
因为正三棱锥的所有棱长均为，所以可求出，，，
设，因为∽，
所以，即，解得，
所以该三棱锥的内切球体积为，故D错误．
故选：．
画出球内切于圆台、正三棱锥的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，即可判断；
对于，分别取线段，，的中点为，，，即可得到经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，求出其面积可判断；
根据平面图形的原图形与直观图面积的关系可判断．
本题考查了几何体的内切球半径的计算、斜二测画法与直观图的面积之间的关系及正方体的截面面积的计算，关键点在于判断，，选项时作出图象，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，

．
故答案为：．
，由此能求出结果．
本题考查向量的数量积的求法，考查向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意，满足，即为偶函数，
若无零点，函数与轴没有交点，
又由的最小正周期为，可以为三角函数的变形形式，如；
故答案为：答案不唯一．
根据题意，结合三角函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数的零点，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为角是第二象限角，所以，，
又，即，
则，
解得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用平方关系结合已知求出，，再结合二倍角的正弦公式即可得解．
本题考查了同角三角函数关系以及二倍角公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
的外接圆的半径为，
球心到平面的距离为，
，
球的表面积为．
故答案为：．
利用余弦定理可求，进而可求的外接圆的半径，可得，计算可得球的表面积．
本题考查求球体的表面积，考查利用正弦定理求三角形的外接圆的半径，属中档题．
 

17.【答案】解：，，
，
在复平面内对应的点落在第一象限，
，解得，
故的取值范围为．
由，得，
即，
故，解得，
故． 

【解析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
将代入一元二次方程，再结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：若选：因为，
由正弦定理知，，
因为，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以．
因为且由知，所以，，
又，所以，所以，
由余弦定理知，，
所以．
若选：因为，
由正弦定理知，，
所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为且由知，所以，，
又，所以，所以，
由余弦定理知，，
所以． 

【解析】选：利用正弦定理整理条件可得，进而可求得；利用三角形面积公式可求得，再由余弦定理可求得．
选：利用正弦定理整理条件可得，进而可求得；利用三角形面积公式可求得，再由余弦定理可求得．
本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连接，，如图所示，
是正方形，是中点，
是中点，
又是中点，
，
平面，平面，
平面；
连接，，如图所示，
是正方形，是的中点，
是中点，
又是中点，
，
平面，平面，
平面，
由得平面，且，，平面，
平面平面面D.
 

【解析】本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属于中档题．
根据线面平行的判定定理证明即可；
根据面面平行的判定定理证明即可．
 

20.【答案】解：，
函数的最小正周期为，所以，所以．
所以．
令，
即，
所以函数的递增区间为．
将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，，
再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得到函数
因为，
所以
所以在上的值域为． 

【解析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；
利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，再结合函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】证明：法一：取的中点，连结，在中，，分别为，的中点，所以且．
底面是平行四边形，是棱的中点，所以且．
所以且所以四边形为平行四边形．
所以，平面，平面．
所以平面．

法二：连结，与交于点，分别为，的中点，所以，分别为，的中点，所以，
底面是平行四边形，所以，所以，，，平面，平面．
所以平面平面平面所以平面．
解：在中，，
由余弦定理有，
解得，可得为直角三角形．，
注：在中，由正弦定理可得，可得为直角三角形．，
，
由已知直四棱柱，可得，，可得，
三棱锥的体积与三棱锥的体积相等或三棱锥的体积，． 

【解析】法一：取的中点，连结，可证四边形为平行四边形，从而可证平面法二：连结，与交于点，分别为，的中点，，，可证平面平面可证结论．
由余弦定理可求，可求的面积，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可求三棱锥的体积．
本题考查线面平行的证明，考查空间几何体的体积的求法，属中档题．
 

22.【答案】解：，，，可得，
在中，由余弦定理有，
所以，又由余弦定理可求得，所以，
所以，，
在中，由正弦定理有，所以有，
所以，在中，由余弦定理有，
解得，，所以的周长等于米．
设，，所以，，
在，中，由正弦定理有，，
所以有，，
所以
所以当时取得面积的最小值此时． 

【解析】求得，由余弦定理有，可求，求得的值，所以的值，再求得，，可求得，，可求周长．
由正弦定理有，，表示，，表示面积，再求最小值．
本题考查灵活运用正余弦定理解决问题的能力，以及利用三角函数求最值．