2021-2022学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析）

2021-2022学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数为虚数单位，则等于(    )

A. 0 B.  C. 1 D.

3.     下列命题中，真命题有(    )
   ①，；
   ②，；
   ③若命题是真命题，则是真命题；
   ④是奇函数．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4.     已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5.     下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲、乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫生，问甲、乙被分到同一个管辖区域的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的倍，信噪比从1000提升到16000，则C大约增加了附：(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则等于(    )

A. 27 B. 25 C. 20 D. 10

8.     已知的展开式中的系数为5，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知是奇函数并且是R上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 若P是圆C：上任一点，则点P到直线距离的最大值(    )

A. 4 B. 6 C.  D.

11. 如图，已知抛物线，圆C：，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于(    )

A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

12. 已知三棱锥的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积为，的面积为，的面积为，满足，当，，的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知，，，则向量与向量的夹角为______.
14. 若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______.
15. 已知函数，且在上单调递增，则满足条件的的最大值为______.
16. 若数列满足，令…，…，则______.
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
    求角B的大小；
    若，D为AC边上的一点，，且____，求的面积．
    ①BD是的平分线；
    ②D为线段AC的中点．
18. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为
    证明：；
    为的中点，点Q在线段PB上，记，求二面角的余弦值．

19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数；
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；

以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能即概率最大是多少？
附：，其中

20. 已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为
    求椭圆C的标准方程；
    设过椭圆C右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交C于点E，F，交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．
21. 已知函数，，
    求函数的单调区间；
    若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
    写出的普通方程和的直角坐标方程；
    设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
23. 已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，，，且的最小值为，求证：
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，

故选：
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，
故，
故选：
利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：对于①，令，，
则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，，所以①正确，
对于②，当时，，，所以成立，所以②正确，
对于③，若命题是真命题，则p，q至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误，
对于④，令，定义域为R，则，
所以是奇函数，所以④正确，
故选：
对于①，利用导数研究函数的单调性，即可求解，对于②，结合特殊值法，即可求解，对于③，结合逻辑用语，即可求解，对于④，结合奇函数的性质，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由题意知双曲线的两条渐近线的夹角为，且，
则双曲线的两条渐近线的倾斜角为和
若双曲线的焦点在x轴上，则，
，
解得，
故选：
判断双曲线的两条渐近线的倾斜角为和，渐近线方程求解a即可．
本题考查双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键，属中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：某班卫生委员将包括甲、乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫生，
基本事件总数，
甲、乙被分到同一个管辖区域包含的基本事件个数，
甲、乙被分到同一个管辖区域的概率为
故选：
基本事件总数，甲、乙被分到同一个管辖区域包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙被分到同一个管辖区域的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由题意，可得
，
所以C大约增加了
故选：
把两个信噪比代入中，然后作商即可解决此题．
本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：因为为等差数列，，，
所以，
解得，，，
则
故选：
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中的系数为，由此解得a的值．
【解答】
解：已知
展开式中的系数为，解得，
故选：  

9.【答案】C 

【解析】解：因为且是奇函数，
则，
又因为是R上的单调函数，所以，即x³，
令³，则条件转化为函数³与图像有3个不同交点，
由²可得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
为其极大值，为极小值，
作出图像如图：

由图可得，当时符合条件，
故选：
由是奇函数并且是R上的单调函数，可将方程转化为方程，即x³，进而条件可转化为函数³与图像有3个不同交点，数形结合即可求得答案．
本题考查函数的性质，考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，转化思想，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：如图，圆C：的圆心坐标为，半径为1，
直线过定点，

由图可知，圆心C到直线距离的最大值为，
则点P到直线距离的最大值为
故选：
由题意画出图形，求出圆心到直线距离的最大值，加半径得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
 

11.【答案】A 

【解析】解：由抛物线：，得焦点为
圆的标准方程为，所以圆心C为，半径
设，，
设直线l：，将直线l代入抛物线方程可得，
即，，
故
故选：
求出抛物线的焦点坐标，得到圆的方程，设，，设直线l：，将直线l代入抛物线方程可得，利用韦达定理，结合抛物线的性质，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：如图，连接AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为的垂心，
，又面ABC，，
又，面APD，，，
同理
由，可得，
且，∽，
，
，又，，
面PBC，得，又，且，
面APC，即可得，
故PA，PB，PC两两互相垂直，
三棱锥的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，
设三棱锥的外接球半径为R，

则
当且仅当时，等号成立，此时
则三棱锥外接球的体积
故选：
连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，可得，，由，可得∽，，即可得PA，PB，PC两两互相垂直，利用三棱锥的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，即可求解．
本题考查了空间线面垂直，三棱锥外接球，考查了转化思想、计算能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，即，
，

故答案为
求出，代入夹角公式计算．
本题考查了平面向量的夹角计算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的导数为：，
直线是函数的图象在某点处的切线，
设切点坐标，可得，解得，切点坐标，
所以，可得
故答案为：
求出导函数，通过切线的斜率，求解切点坐标，然后求解a即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：
由，
得，
的单调递增区间为，
由题知，，
，
，当时，，，
当时，；当，时，
故答案为：
，可得，，计算可得的最大值．
本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：列举法，，，，，，⋯⋯，
，
即，
又，，，，，
，
，

故答案为：
利用列举法求出，推出T与S的值，然后求解比值即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由正弦定理知，，
，代入上式得，
，
，
，
，

若选①：由BD平分得，，
，即
在中，由余弦定理得，
又，
，联立
得，解得舍去，

若选②：由题意可得，
两边平方可得，
可得，
可得，
在中，由余弦定理得，即，
联立
可得，
 

【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求，结合范围，可求B的值．
若选①：利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理可得，联立方程解得ac的值，利用三角形的面积公式即可求解；
若选②：由三角形中线的性质可得，两边平方化简可求，在中，由余弦定理得，联立方程可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，角平分线的性质，三角形的面积公式，余弦定理，三角形中线的性质在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】证明：为直径，点D在圆上且不同于A，C点，，
又为母线，平面ABCD，
又平面ABCD，
从而，
又，平面PDC，
又平面PDC，
解：，圆柱的底面直径为2，
即，
又B为的中点，，即四边形ABCD为正方形，，DC，DP两两相互垂直，
以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，

，，
，，，
，
，，
设平面QAC的法向量为，
令，，，
易知平面BAC的一个法向量为，

又由题知二面角为锐二面角，所求的余弦值为 

【解析】证明，推出平面ABCD，证明，得到平面PDC，即可证明
以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面QAC的法向量，平面BAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：天
由表知，潜伏期天数在的频率为，潜伏期天数在的频率为，
故200人中潜伏期在的有人，在的有60人，
补充完整的列联表如下：

所以，
故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关．
由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，
设20名患者中潜伏期超过8天的人数为X，则，
所以，且，，
由题意得，
即化简得
解得，
故，即潜伏期超过8天的人数最有可能是 

【解析】根据平均数的计算方法，即可得解；
由表知，潜伏期天数在的频率为，潜伏期天数在的频率为，由此补充完整
列联表，再根据的参考公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断；
设20名患者中潜伏期超过8天的人数为X，则，再根据二项分布的概率公式，列出不等式组，解之即可．
本题考查独立性检验，二项分布等，熟练掌握二项分布的定义与概率的计算方法是解题的关键，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设右焦点，，
由题知求得，，，
所以椭圆C的标准方程为
方法一：设：，：，
联立直线与椭圆C的方程得
消去y得，，
由根与系数的关系知，则，
代入直线的方程得，所以，
同理得
①当直线MN的斜率存在时，设直线：，
将点M，N的坐标代入直线，得
易知，为方程的两个根，由根与系数的关系知，
由题知，所以，得，
所以直线，所以直线MN过定点
②当直线MN的斜率不存在时，，
即，所以，且
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点综上，直线MN过定点
方法二：设：，：，联立直线与椭圆C的方程
消去y得，
由根与系数的关系知，，，
代入直线的方程得，
所以，同理的
①当直线MN的斜率存在时，即，，
上式结合化简，
直线，
由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令，
得，
所以直线MN过定点
②当直线MN的斜率不存在时，，
即，所以，
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点
综上，直线MN过定点 

【解析】设右焦点，，利用离心率以及三角形的面积的最大值，列出方程组，求解a，b，得到椭圆方程．
方法一：设：，：，联立直线与椭圆方程，求出MN的坐标，①当直线MN的斜率存在时，设直线：，将点M，N的坐标代入直线，利用，求出，得到直线MN的方程，取得定点坐标．②当直线MN的斜率不存在时，验证即可．
方法二：设：，：，联立直线与椭圆C的方程利用韦达定理求解M、N的坐标，①当直线MN的斜率存在时，求出MN的方程，通过直线系求解定点坐标．②当直线MN的斜率不存在时，验证即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解，，
①当，即时，，，单调递增；
②当，即时，令，即，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为
方法一：对任意的恒成立，
即，
令，
又，，所以，
令，，且
由题意，得，即
下面证明，对于任意的恒成立．
当时，，
当时，，，，
即即在上单调递增，
，在上单调递增，，
即得证．
故说明，满足条件，
的取值范围为；
方法二：令，
当时，，在上单调䏲增，
，在上恒成立．
对任意的恒成立．
即恒成立，
等价于恒成立，
等价于恒成立．
构造函数，上式即为
由上面的证明知，在上恒成立．
只需在上单调递增．在上恒成立，
，a的范围为，
的取值范围为 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求；
方法一：由题意对任意的结合已知不等式考虑构造函数，对求导，结合导数与单调性关系及函数的性质可求；
方法二：构造函数，然后求导，结合导数与单调性关系把问题转化为恒成立，构造函数，上式即为，然后结合导数与单调性关系可求．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，证明不等式，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于难题．
 

22.【答案】解：消去参数可得曲线的普通方程为：，
的极坐标方程即：，
转化为直角坐标方程即：
由题意设点P的坐标为，曲线是直线，
则的最小值即点P到的距离的最小值，距离函数为：
，
当且仅当时，距离有最小值，最小值为，
此时点P的坐标为 

【解析】由题意消去参数即可求得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线的直角坐标方程；
结合的结论得到距离函数，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．
本题考查直角坐标方程与极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
 

23.【答案】解：当时，函数，
①当时，由，得，；
②当时，由，得，；
③当时，由，得，
综上，不等式的解集为
证明：，
当时，取到最小值，
，即
，，，
，
当且仅当时等号成立．
即成立． 

【解析】去绝对值，写出分段函数解析式，即可求得不等式的解集；
利用绝对值的三角不等式求得的最小值，结合“1”的代换，再由基本不等式证明结论．
本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．