湖南省长沙市雨花区雅礼第十五中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市雨花区雅礼第十五中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市雨花区雅礼十五中2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
3．截止到北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
4．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．a﹣b＞0 C． D．﹣3a＜﹣3b
5．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，根据尺规作图痕迹，△BCD的周长为（　　）

A．26 B．20 C．16 D．14
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
8．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°
9．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．下列说法错误的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．三个角都相等的三角形是等边三角形．
11．如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（　　）

A．AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
12．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．比较大小：　 　7．（用“＞”或“＜”连接）
14．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是　 　米．

15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为　 　．

16．已知不等式的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 　 　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

20．（8分）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　 　人；
（2）在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 　 　；
（3）通过计算将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级共有800名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．

22．（9分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要整套购进A，B两种型号的健身器材．若购买A型号10套，B型号8套，恰好支出4600元，已知购买一套B型号健身器材比购买一套A型号健身器材要多花80元．
（1）求每套A，B型号健身器材的单价各是多少元？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共40套，且支出不超过11000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
23．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的长．

24．（10分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“雅系三角形”．

（1）如图①，若△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，连接BD、CE．求证：BD＝CE；
（2）如图②，在（1）的条件下，若BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME；
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．

25．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，﹣4），且a，b满足|a+b﹣12|+＝0．
（1）求出a，b的值；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的面积为8？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图，已知M（m，0），N（n，﹣4）（点M在线段OA上），且实数m、n、s满足，连接MN交OB于点D，点P是线段AB上的一点，连接PM，PD，AD，有，求点D的纵坐标．


参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．
【解答】解：点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3．截止到北京时间2022年6月11日全球新冠肺炎确诊病例超过5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.32×108 B．53.2×107 C．0.532×109 D．5.32×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5.32亿＝532000000＝5.32×108，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．a﹣b＞0 C． D．﹣3a＜﹣3b
【分析】依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a＜b，则a﹣2＜b﹣2，故A选项正确；
若a＜b，则a﹣b＜0，故B选项错误；
若a＜b，则a＜b，故C选项错误；
若a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故D选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
5．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，根据尺规作图痕迹，△BCD的周长为（　　）

A．26 B．20 C．16 D．14
【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而可得CD+BD＝10，从而可得出答案．
【解答】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD+BD＝CD+BD＝10，
∵BC＝6，
∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝10+6＝16．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得
∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，根据题意列出方程可得出x的值．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，由题意得
x﹣（90°﹣x）＝20°，
解得：x＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，注意掌握互为余角的两角之和为90°．
10．下列说法错误的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．三个角都相等的三角形是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．
【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；
C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；
D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
11．如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（　　）

A．AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可，
【解答】解：作AC、BC两边的垂直平分线，它们的交点是P，
由线段的垂直平分线的性质，PA＝PB＝PC，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】设有x个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．
【解答】解：设有x个人，则可列方程：
+2＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示车的数量是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．比较大小：　＜　7．（用“＞”或“＜”连接）
【分析】两个正实数，平方大的，这个正实数也大，据此判断出、7的大小关系即可．
【解答】解：＝47，72＝49，
∵47＜49，
∴＜7．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
14．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是　6　米．

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，

如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．
故答案为6．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为　11　．

【分析】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝BM，EN＝CN，
∵BM+CN＝11，
∴EM+EN＝11，
即MN＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，能求出ME＝BM和EN＝CN是解此题的关键．
16．已知不等式的解集是x＜2，则a的取值范围是 　a≥2　．
【分析】根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究a的取值范围即可．
【解答】解：由不等式组的解集是x＜2，
因此a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：|﹣5|﹣+（﹣2）2+4÷（﹣）．
【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
【解答】解：原式＝5﹣3+4﹣6＝0
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 　①　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；
（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．
故答案为：①

（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，
则在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20．（8分）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　50　人；
（2）在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 　64.8°　；
（3）通过计算将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级共有800名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？

【分析】（1）根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；
（2）用选择“泥塑”课程的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数；
（3）用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图；
（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝64.8°．
故答案为：64.8°；
（3）“绘画”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如图所示．

（4）800×＝288（人）．
答：估计七年级学生中选择“书法”课程的约有288人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．

【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
22．（9分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要整套购进A，B两种型号的健身器材．若购买A型号10套，B型号8套，恰好支出4600元，已知购买一套B型号健身器材比购买一套A型号健身器材要多花80元．
（1）求每套A，B型号健身器材的单价各是多少元？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共40套，且支出不超过11000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
【分析】（1）设每套A型号健身器材的单价是x元，每套B型号健身器材的单价是y元，根据“购买A型号10套，B型号8套，恰好支出4600元，购买一套B型号健身器材比购买一套A型号健身器材要多花80元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型号健身器材购买m套，则B型号健身器材购买（40﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过11000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每套A型号健身器材的单价是x元，每套B型号健身器材的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每套A型号健身器材的单价是220元，每套B型号健身器材的单价是300元．
（2）设A型号健身器材购买m套，则B型号健身器材购买（40﹣m）套，
依题意得：220m+300（40﹣m）≤11000，
解得：m≥，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为13．
答：A型号健身器材至少要购买13套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠EPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的长．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEB≌△CDA；
（2）由△AEB≌△CDA，得∠ABE＝∠CAD，则∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°，所以∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°；
（3）由∠PQB＝90°，∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，而PQ＝7，PE＝3，所以BP＝2PQ＝14，BE＝BP+PE＝17．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB和△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°，
∴∠EPQ的度数是120°．
（3）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，
∴∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×7＝14，
∴BE＝BP+PE＝14+3＝17，
∴BE的长是17．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
24．（10分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“雅系三角形”．

（1）如图①，若△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，连接BD、CE．求证：BD＝CE；
（2）如图②，在（1）的条件下，若BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME；
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据“雅系三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，证明△BAD≌△CAE（SAS），即可解决问题；
（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“雅系三角形”．
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME；

（3）解：结论：∠B+∠C＝180°，
理由：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，连接AP，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．


【点评】本题属于三角形综合题，考查了“雅系三角形”的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，﹣4），且a，b满足|a+b﹣12|+＝0．
（1）求出a，b的值；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的面积为8？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图，已知M（m，0），N（n，﹣4）（点M在线段OA上），且实数m、n、s满足，连接MN交OB于点D，点P是线段AB上的一点，连接PM，PD，AD，有，求点D的纵坐标．

【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，根据三角形的面积公式计算求出S△AOB的面积；
（2）设C（m，0），根据三角形的面积公式计算；
（3）作DQ⊥x轴于点Q，作BS⊥x轴于点S，解方程组用s表示出m、n，得到AB∥MN，根据三角形的面积公式求出点D的纵坐标即可．
【解答】解：（1）∵|a+b﹣12|+＝0，
又∵|a+b﹣12|≥0，≥0．
∴，
∴；

（2）存在．设C（m，0），
∵A（7，0），B（5，﹣4），△ABC的面积为8，
∴×|7﹣m|×4＝8，
∴m＝3或﹣11，
∴C（3，0）或（﹣11，0）；

（3）设D（x，y）．
，
解得，，
∵M（7﹣s，0），N（5﹣s，﹣4），A（7，0），B（5，﹣4），
∴AB∥MN，
∴＝＝，
∴＝，
解答，|y|＝，
∵点D在第四象限，
∴y＝﹣，
∴点D的纵坐标为﹣．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．