湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期暑假巩固训练数学试卷 （含答案）

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）暑假巩固训练数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各曲线中不能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，这个数用科学记数法应表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一次函数的图象不经过第三象限，则下列说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列关于抛物线的说法，正确的是(    )

A. 开口向下 B. 顶点坐标是
C. 有最小值 D. 对称轴是直线

6. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选去．(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 在中，若，，的对边分别是，，，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    )

A.
B.
C. ，，为正整数
D. ，，

8. 如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：；四边形是矩形；平分；；四边形周长等于其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 直线与轴交点坐标为          ．
12. 把因式分解的结果是______．
13. 关于的方程的两根为、，则的值为______．
14. 三个边长为的小正方形按如图所示叠放在一起，点、、都在小正方形的顶点上，那么的度数等于______ ．

15. 如图，在中，，分别为，的中点，点在线段上，且若，，则的长为          ．

16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：；；；；请写出所有正确选项的序号______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点．
    求一次函数的解析式；
    在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标．

20. 本小题分
    表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．
     

小明次成绩的众数是______分；中位数是______分；
计算小明平时成绩的方差；
按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．
注意：平时成绩用四次成绩的平均数；每次考试满分都是分．

21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：不论为何值，方程总有两个实数根；
    若方程有一个根小于，求的取值范围．
22. 本小题分
    为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．
    求两种型号电脑单价分别为多少元；
    学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
23. 本小题分
    如图，在菱形中，对角线，相交于点过点作，过点作交于点．
    求证四边形是矩形；
    若，，求四边形的面积．

24. 本小题分
    若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的点雅抛物线，如：是的点雅抛物线．
    若是的点雅抛物线，求的值；
    若二次函数是经过点的一次函数的点雅抛物线，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
    若函数的点雅抛物线与轴两个交点间的距离为，求，的值．
25. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，点为轴上的动点，连接，，．
    求该抛物线所对应的函数解析式；
    如图，当点的坐标为，求出此时面积的最大值；
    如图，是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：显然、、三选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
B、对于的任何值，都有二个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】
解：将亿用科学记数法表示为：．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第三象限，
此函数的图象可能经过第二、四象限，也可能经过第一、二、四象限，
．
故选：．
由于一次函数的图象不经过第三象限，则此函数的的系数小于，
考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的图象经过的象限，由、的值共同决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，
得到的抛物线解析式是：．
故选：．
直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．
此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由抛物线解析式可得，
，
开口向上，A错误；
对称轴，D错误；
顶点坐标为，B错误；
开口向上有最小值，当时有最小值，为，C正确．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式注意分析即可．
本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又，
乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
综上，乙的成绩好且稳定，
故选：．
先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，为正整数，
，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理求出度数，即可判断选项A；先分别求两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断选项BB和选项C；根据三角形你三边关系定理即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理和三角形三边关系定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：分情况讨论：

为等腰直角底边时，符合条件的格点有个；
为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点有个．
故共有个点，
故选：．
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰直角底边；为等腰直角其中的一条腰．
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
 

9.【答案】 

【解析】解：
解得或．
故二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的交点在轴上或点．
故选：．
根据二次函数与一次函数可以求得它们的交点坐标，从而可以判断哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
 

10.【答案】 

【解析】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，，
四边形是菱形，
，正确；
四边形是矩形，错误；
平分，正确；
当，如图所示：，分别为，中点，
连接，延长交上一点，
，，
，故本小题错误；
四边形周长等于，正确；
综上所述，共个正确；
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可．
本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意知，当直线与轴相交时，，
，解得；
直线与轴的交点坐标是；
故答案是：．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两根为、，
，，
则原式．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
．
，
，
是，，

，
故答案为：．
根据勾股定理，可得、、的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案．
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理、勾股定理的逆定理是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
．
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，即可得出答案．
本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交点在轴上方，
，
对称轴，
，
，
正确；
抛物线与轴的另一个交点在轴的负半轴上，
抛物线与轴的另一个交点坐标大于小于，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标的横坐标大于小于，
当时，
，
正确；
当时，二次函数有最大值，
，
，
即，
正确；
直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于，
时，一次函数值比二次函数值大，
即，
而，
，解得，所以正确．
正确，
故答案为：．
利用抛物线与轴的交点位置得到，利用对称轴方程得到，则，于是可对进行判断；
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点横坐标大于小于，则当时，，于是可对进行判断；
根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，则，于是可对进行判断；
由于直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解的不等式，则可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系娄的关系．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先算乘方、负整数指数幂，零指数幂、算术平方根，再算加减法即可求解．
本题考查了实数的运算，关键是熟练掌握乘方、负整数指数幂，零指数幂、算术平方根的运算．
 

18.【答案】解：方程变形得：，
开方得：，
则，；

，
，，，
，
原方程无实数解． 

【解析】利用直接开平方法求得即可；
利用公式法求解即可．
此题考查了解一元二次方程直接开平方法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：设一次函数的解析式为，
把点和代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
当时，，解得，
则，
在轴上存在一点，且的面积为，
，即．
，
，
或． 

【解析】通过待定系数法求解．
通过三角形的面积求出的长度，再求出点的坐标．
本题考查待定系数法及函数与三角形的结合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法及注意图形题的多解情况．
 

20.【答案】解：；；
分，
；
根据题意得：
分，
则小明本学期的综合成绩为分． 

【解析】

【分析】
此题考查了方差，加权平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．找出小明次成绩中出现次数最多的分数即为众数，把次考试成绩按照从小到大排列，找出中间两个除以，即可得到中位数；
求出小明平时次考试平均分，利用方差公式计算即可得到结果；
用小明平时次考试的平均成绩，以及期中与期末考试成绩，各自乘权重，计算即可得到综合成绩．
【解答】
解：出现了次，其余分数只有次，
次成绩的众数为分；
排列如下：，，，，，，
，
次成绩的中位数为分；
故答案为：；；
见答案；
见答案．  

21.【答案】证明：在方程中，，
方程总有两个实数根．
解：，
，．
方程有一根小于，
，解得：，
的取值范围为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于，找出关于的一元一次不等式．
 

22.【答案】解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解并满足题意，
，
答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得：
，
解得，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时费用最少，最少费用为，
台，
答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元． 

【解析】设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由“分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台”列出方程即可求解；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
解得；
，
抛物线的顶点坐标为，
把，分别代入得，
解得，
一次函数解析式为，
当时，，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，直线与轴的交点坐标为，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
当时，，解得，，
，
，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
解得，
、的值分别为，． 

【解析】利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再根据新定义，把代入值可得到的值；
利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法确定一次函数解析式为，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
先解方程得，，则，解方程得到，再利用配方法得到抛物线解析式为的顶点坐标为，然后把代入中可求出的值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
该抛物线所对应的函数解析式为；
如图，过点作轴交直线于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，，
当时，面积的最大值为；
设，，
，
，，
当，时，如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
解得：或，
当时，，，
，即，
点在的负半轴上，
，
；
当时，，，
，即，
点在的负半轴上，
，
；
当，时，如图，过点作轴于点，轴于点，
则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
解得：舍去或，
当时，，
，
；
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
如图，过点作轴交直线于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，利用三角形面积公式可得，再运用二次函数性质即可求得答案；
设，，分两种情况：当，时，当，时，分别讨论计算即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，等腰直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形及运用分类讨论思想是解题关键．