雨花区雅礼教育集团2020-2021学年八上入学数学试卷及参考答案

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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：A、＝|﹣3|＝3；故A错误；
B、＝﹣|3|＝﹣3；故B正确；
C、＝|±3|＝3；故C错误；
D、＝|3|＝3；故D错误．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到x轴的距离为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
【解答】解：∵|4|＝4，
∴点P（﹣3，4）到x轴距离为4．
故选：C．
4．估计2+的值（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【分析】直接得出2＜＜3，进而得出2+的取值范围．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＜2+＜5，
∴2+的值在4和5之间，
故选：C．
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．125° B．120° C．140° D．130°
【分析】根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD＝∠2，代入∠FCD＝∠1+∠A求出即可．
【解答】解：
∵EF∥GH，
∴∠FCD＝∠2，
∵∠FCD＝∠1+∠A，∠1＝40°，∠A＝90°，
∴∠2＝∠FCD＝130°，
故选：D．
6．要调查长乐市初三学生周日的睡眠时间，选取调查对象合适的是（　　）
A．选取一个学校的学生
B．选取1000名男生
C．选取1000名女生
D．随机选取1000名初三学生
【分析】抽样要具有随机性和代表性，比每个层次都要考虑到，并且每个被调查的对象被抽到的机会相同．
【解答】解：因为要调查长乐市初三学生周日的睡眠时间，所以选取调查对象是随机选取1000名初三学生，故选D．
7．若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）
A．m﹣4＜n﹣4 B． C．4m＜4n D．﹣2m＞﹣2n
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵m＞n，
∴m﹣4＞n﹣4；m＞n；4m＞4n，﹣2m＜﹣2n．
故选：B．
8．下列物品不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．放缩尺
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：放缩尺是利用了平行四边形的不稳定性，
而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：D．
9．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AC＝BD，∠A＝∠D
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解：A、AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、具备条件AC＝DB，BC＝BC，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
10．把形如△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，下列∠A与∠1+∠2间的数量关系始终成立的是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．
【解答】解：连接AA′．
则△A′ED即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：∠DAE＝∠DA′E．
由三角形的外角性质知：
∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A；
则∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE，
即∠1+∠2＝2∠A．
故选：B．

11．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
12．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．0≤a＜ B．0≤a＜1 C．﹣＜a≤0 D．﹣1≤a＜0
【分析】求出两个关于x的不等式的解集，再根据不等式组恰有3个整数解，即可得a的范围．
【解答】解：解不等式x＜2（x﹣a），得：x＞2a，
解不等式x﹣1≤x，得：x≤3，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴0≤2a＜1，
解得：0≤a＜
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．已知等腰三角形的两边为4cm，8cm，则等腰三角形的周长为　20cm　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①8cm为腰，4cm为底，此时周长为20cm；
②8cm为底，4cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
则等腰三角形的周长为20cm．
故答案为：20cm．
14．已知方程组的解也是方程x﹣y＝1的一个解，则m的值是　3　．
【分析】将方程组中第一个方程与x﹣y＝1联立求出x与y的值，代入第二个方程即可求出m的值．
【解答】解：根据题意联立得：，
解得：，
将x＝2，y＝1代入mx﹣y＝5中，得：2m﹣1＝5，
解得：m＝3．
故答案为：3
15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　（1，4）　．

【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴则B点的坐标是（1，4），
故答案为：（1，4）．

16．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是　①④　．（把所有正确的结论的序号写在横线上）

【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故答案为：①④．

三．解答题
17．（1）计算：
（2）解方程组
【分析】（1）化简后合并即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣2+2﹣＝3+；

（2），
①+②×3得：﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
把x＝3代入②解得：y＝，
所以原方程组的解为：．
18.解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】﹣3≤x＜2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解4（x+1）≤7x+13得：x≥﹣3，
解＞x﹣4得：x＜2，
不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，
在数轴上表示：

19.一个凸多边形的内角和是外角和的3倍．
（1）求这个多边形的边数；
（2）这个多边形一共有多少条对角线？
【考点】多边形的对角线；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）20．
【分析】（1）设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答；
（2）根据多边形对角线公式为可解答．
【解答】解：（1）设这个凸多边形的边数是n，根据题意得（n﹣2）×180°＝3×360°，
解得n＝8，
答：这个凸多边形的边数是8；
（2）这个多边形一共有条对角线．
20.学校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、排球、乒乓球四项课外体育活动，每个学生必选且只选一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题．
（1）这次活动一共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校总人数是5200人，请估计该学校选择篮球项目的学生人数．

【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）400名；
（2）补全的条形统计图见解答；
（3）2080人．
【分析】（1）根据选择足球人数所占的百分比和条形统计图中选择足球的人数，可以计算出本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出该学校选择篮球项目的学生人数．
【解答】解：（1）140÷35%＝400（名），
即这次活动一共调查了400名学生；
（2）选择“篮球”的有400﹣140﹣20﹣80＝160（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）（人），
即该学校选择篮球项目的学生约有2080人．

21、如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求证：AO＝OD．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行线的性质得出∠B＝∠C，∠BCA＝∠EFD，证出BC＝EF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，证明△ACO≌△DFO（AAS），即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠C，
∵AC∥FD，
∴∠BCA＝∠EFD，
∵FB＝EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
在△ACO和△DFO中，，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴AO＝OD．
22.如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）将△ABC平移后得到△DEF，若此时A点的对应点D的坐标为（1，3），请直接写出B点的对应点E和C点的对应点F的坐标，并在图中画出△DEF；
（3）在x轴上是否存在点P使得△DFP的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）；
（2）E（﹣2，﹣2）、F（3，0），△DEF见解答；
（3）（，0）或（，0）．
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）根据点A及其对应点D的坐标得出平移的方向和距离，据此得到点E、F的坐标，从而得出△DEF；
（3）设点P的坐标为（x，0），根据△DFP的面积与△ABC的面积相等得到，解之可得答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为5×5﹣×2×3﹣×3×5﹣×2×5＝；
（2）∵点A（﹣1，4）的对应点D的坐标为（1，3），
∴点B（﹣4，﹣1）的对应点E的坐标为（﹣4+2，﹣1﹣1），即E（﹣2，﹣2）；
点C（1，1）的对应点F的坐标为（1+2，1﹣1），即F（3，0）；
△DEF如图所示：

（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得，
解得或，
所以点P为（，0）或（，0）．
23.入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】（1）食品120件，则帐篷200件；
（2）方案共有3种：方案一：甲车2辆，乙车6辆；方案二：甲车3辆，乙车5辆；方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）方案一运费最少，最少运费是14800元．
【分析】（1）设食品x件，则帐篷（x+80）件，等量关系：帐篷件数+食品件数＝320，列出一元一次方程，即可求出解；
（2）先由不等关系得到一元一次不等式组，求出解集，再根据实际含义确定方案；
（3）分别计算每种方案的运费，然后比较得出结果．
【解答】解：（1）设食品x件，则帐篷（x+80）件，由题意得：
x+（x+80）＝320，
解得：x＝120．
∴帐篷有120+80＝200件．
答：食品120件，则帐篷200件；
（2）设租用甲种货车a辆，则乙种货车（8﹣a）辆，由题意得：
，
解得：2≤a≤4．
又∵a为整数，
∴a＝2或3或4．
∴乙种货车为：6或5或4．
∴方案共有3种：
方案一：甲车2辆，乙车6辆；
方案二：甲车3辆，乙车5辆；
方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
方案一：2×2000+6×1800＝14800（元）；
方案二：3×2000+5×1800＝15000（元）；
方案三：4×2000+4×1800＝15200（元）．
∵14800＜15000＜15200
∴方案一运费最少，最少运费是14800元．
24.如果x是一个有理数，我们定义{x}表示不小于x的最小整数．
（1）根据定义：{3.2}＝　　，{﹣2.6}＝﹣2，{5}＝　　；
（2）求满足{﹣2m+7}＝3的m取值范围；
（3）若{3.5n﹣2}＝2n+1，求n的值．
【考点】有理数大小比较；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）4；5；
（2）；
（3）n＝或n＝2．
【分析】（1）根据定义{x}表示不小于x的最小整数求解即可；
（2）由题意得不等式﹣2m+7≤{﹣2m+7}＜﹣2m+7+1，求解即可；
（3）由题意得不等式3.5n﹣2≤{3.5n﹣2}＜（3.5n﹣2）+1，求解该不等式，并结合2n+1为整数，可求得n的取值范围．
【解答】解：（1）根据定义：{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{5}＝5；
故答案为：4；5；
（2）∵{﹣2m+7}＝3，
∴﹣2m+7≤{﹣2m+7}＜﹣2m+7+1，
∴﹣2m+7≤3＜﹣2m+7+1，
解得：，
∴满足{﹣2m+7}＝3的m的取值范围为．
（3）依题意得：3.5n﹣2≤{3.5n﹣2}＜（3.5n﹣2）+1，且2n+1为整数，
∴3.5n﹣2≤2n+1＜（3.5n﹣2）+1，
解得：，
∴，
∴整数2n+1为4或5．
∴n＝或n＝2．
25.（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　　cm；

（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）EF＝BE+DF；
（3）成立；
（4）EF＝BE﹣DF．
【分析】（1）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（3）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（4）在BC上截取BH＝DF，由“SAS”可证△ABH≌△ADF，可得∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，由“SAS”可证△HAE≌△FAE，可得HE＝EF，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．
故答案为：10．
（2）EF＝BE+DF．
证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF；
（3）成立．
证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+FD；
（4）EF＝BE﹣FD，
理由如下：在BC上截取BH＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，
∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE＝EF，
∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．