《新高考数学大二轮复习课件》专题二 第1讲 平面向量

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KAO QING FEN XI
1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性， 在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合， 主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度.
考点一　平面向量的线性运算
共线定理及推论1.已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.
则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
所以C中关系式不正确；
解析　因为a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，所以2m＝1－n，即2m＋n＝1，因为m，n均为正数，
向量线性运算问题的求解方法(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解.(2)应用平面几何知识，如三角形中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算.(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.
解析　如图，设F为BC中点，
又G，D，E三点共线，
考点二　平面向量的数量积
例2　(1)(2021·宜昌模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为
解析　因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，左右同时平方，所以|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，
解析　∵A，B是圆O：x2＋y2＝1上的两个动点，
求向量数量积的三种方法(1)定义法.(2)利用向量的坐标运算.(3)利用数量积的几何意义.
解析　建立如图所示直角坐标系，则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，设E(x，y)，
(2)(2021·甘肃民乐一中模拟)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，若(a＋3b)⊥(2a＋λb)，则实数λ＝_____.
解析　因为向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋3b)⊥(2a＋λb)，所以(a＋3b)·(2a＋λb)＝0，即2a2＋(6＋λ)a·b＋3λb2＝0，
考点三　平面向量的综合应用
向量求最值的常用方法1.利用三角函数求最值.2.利用基本不等式求最值.3.建立坐标系，设变量构造函数求最值.
A.18 D.48
解析　骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，
(2)(2021·武汉模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(6,0)，C(－5，－2)，则内角A的平分线所在直线方程为_____________.
所以直线的方程为y－4＝7(x－3)，即7x－y－17＝0.
用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在解题中的应用.
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，所以B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，
则1×2－x(x＋1)＝0，解得x＝1或x＝－2，
4.(2021·滨州模拟)已知a>0，b>0，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，若m⊥n，则2a＋b的最小值为A.9 　　　B.8 　　　C. 　　　D.5
所以2a＋b的最小值为8.
解析　建立以A为原点，AB所在直线为x轴的直角坐标系，
解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
对于D选项，a＋b＝(－1,2)，∵22≠1×(－1)，则a＋b与a不平行，D选项错误．
10.(2021·盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有A.(a＋b)·c＝a·c＋b·cB.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b|D.|a－b|≤|a|＋|b|
解析　选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的分配律可知A正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cs〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；而|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cs〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.
解析　因为点P是△ABC所在平面内一点，
13.(2021·邯郸模拟)已知平面向量a＝(3,4)，非零向量b满足b⊥a，则b＝________.(答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可)
解析　设b＝(x，y)，因为b⊥a，所以3x＋4y＝0，可取b＝(4，－3).
15.(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
解析　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(0,2)，C(4,0)，
设BC的中点为D(2,1)，