《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第1讲 直线与圆

这是一份《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第1讲 直线与圆，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，考点一直线的方程，考点二圆的方程，专题强化练等内容，欢迎下载使用。
KAO QING FEN XI
1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离 公式，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
例1　(1)将直线l：y＝2x＋1绕点A(1,3)按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为A.2x－y＋1＝0B.x－y＋2＝0C.3x－2y＋3＝0D.3x＋y－6＝0
解析　直线l：y＝2x＋1绕点A(1,3)按逆时针方向旋转45°得到直线l′，设直线l′的斜率为k，直线l的倾斜角为α，所以tan α＝2，
所以直线l′的方程为y－3＝－3(x－1)，整理得3x＋y－6＝0.
(2)(2021·深圳模拟)已知直线l1：x＋(2a－1)y＋2a－3＝0，l2：ax＋3y＋a2＋4＝0，则“l1∥l2”是“a＝ ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
跟踪演练1　(1)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝x＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，则b等于
解析　画出图象，如图所示.∵A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，∴△ABC为等腰直角三角形，
又|BD|＝|DE|，
(2)已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.
解析　由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0,4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3,0).易知直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA⊥MB，
1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2.圆的一般方程
例2　(1)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若　　＝2，则点C的轨迹为A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线
解析　设|AB|＝2a(a>0)，以AB的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，
(2)(2021·包头模拟)若圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切的圆，被直线x－y＝0截得的弦长为2　 ，则该圆的方程为__________________________________________.
(x－1)2＋(y－3)2＝9或
(x＋1)2＋(y＋3)2＝9
解析　设圆的圆心为(t,3t)，则圆的半径r＝3|t|，
解得t＝±1，∴圆心为(1,3)或(－1，－3)，且r＝3|t|＝3，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
解析　因为kx－y－2－k＝0，所以k(x－1)－y－2＝0，
所以直线kx－y－2－k＝0过定点N(1，－2).从点P(－3,2)向直线kx－y－2－k＝0作垂线，垂足为M，则M在以PN为直径的圆上，
所以圆G的方程为(x＋1)2＋y2＝8，即M的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝8，
因为Q(2,4)，(2＋1)2＋42>8，
x2＋(y－3)2＝10
PB的中点坐标为(2,2)，
令x＝0，则y＝3，设外接圆圆心为M，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
考点三　直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法.
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1　直线与圆的位置关系
例3　(1)(2020·全国Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1 　　　B.2 　　　C.3 　　　D.4
解析　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3,0)，半径r＝3.如图，记点M(1,2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
考向2　圆与圆的位置关系
例4　(1)(2021·武汉模拟)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为A.1 　　　B.2 　　　 C.3 　　　 D.4
(2)已知圆O：x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点________.
解析　设P(9－2t，t)，∵圆O：x2＋y2＝4的两条切线分别为PA，PB，切点分别为A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，则点A，B在以OP为直径的圆上，设这个圆为圆C，即AB是圆O与圆C的公共弦，
则公共弦AB所在的直线方程为(2t－9)x－ty＋4＝0，即t(2x－y)＋(－9x＋4)＝0，
直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
跟踪演练3　(1)已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的方程为A.2x－y＋2＝0B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0C.x＝0D.x＝0或2x＋y－2＝0
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝0，此时点C到直线l的距离为2，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
所以直线l的方程为2x－y＋2＝0.
(2)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是
解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，
所以圆C与直线l相离.
要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小.又|PC|的最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝2.
1.已知圆C经过点(－1,0)和(1,0)，且与直线y＝x－1只有一个公共点，则圆心C的坐标为A.(0,0) B.(0,1)C.(0，－1) D.(0,1)或(0，－1)
解析　由圆C经过点(－1,0)和(1,0)，则圆心一定在y轴上，设圆心为(0，b)，由圆与直线y＝x－1只有一个公共点，即圆与直线y＝x－1相切.
2.(2021·西安模拟)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为
解析　由两条直线平行，得m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意.当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，
3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为A.y－x＝1 B.y＋x＝3C.2x－y＝0或x＋y＝3 D.2x－y＝0或y－x＝1
故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，
解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.
4.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析　依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.因为圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为 ，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3,1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
5.已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5及点A(0,2)，点P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为
解析　如图所示.设点A关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为A′(x，y)，
则A′(－4，－2)，
7.已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为
当y＝0时，得x2－a2x＋a2－16＝0，设圆M与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2－16，
8.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1,3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝r2相切，则圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为
解析　因为在△ABC中，AB＝AC＝4，所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为△ABC的边BC的垂直平分线AD，
所以BC的垂直平分线的斜率为1，
因为“欧拉线”与圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝r2相切，
9.已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则A.l1恒过点(2，－2)B.若l1∥l2，则a2＝C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限
解析　l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0⇔a(x＋y)＋x＋2＝0，
若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，得a＝0，故C不正确；
解得0≤a0，直线l1：x＋y－a＝0，l2：x＋y＋a＝0，若直线l1，l2将圆O：x2＋y2＝4的周长四等分，则a＝_____.
所以d1＝d2，圆O：x2＋y2＝4的半径为2，所以圆的周长为4π，要想直线l1，l2将圆O：x2＋y2＝4的周长四等分，只需直线l1：x＋y－a＝0截圆O：x2＋y2＝4所得的弦所对的圆心角α所对的弧长为π，
解析　因为|C1C2|＝6，r1＝a>7，r2＝1，所以|C1C2||C1C2|＝6，所以M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，如图所示.
因为P是△MC1C2的内心，所以P到MC1，MC2，C1C2的距离相等，设为h.
即2a1＝18，a1＝9，又2a1＝a＋1，所以a＝17.