《新高考数学大二轮复习课件》思想方法 第1讲 函数与方程思想

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.
第1讲　函数与方程思想
思想概述　函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
方法一　运用函数相关概念的本质解题
思路分析　先求出f(x)＝ax是减函数时a的范围→满足－0＋3a≥a0时a的范围→取交集
解析　∵函数f(x)是R上的减函数，
在函数的第一段中，虽然没有x＝0，但当x＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(0)，这是解题的一个易忽视点.
思路分析　f(x)为奇函数→m的取值→判断f(x)的单调性→f(x)的最值→a的范围
由指数函数的性质，可得f(x)是减函数，
由f(x)的解析式判断f(x)的单调性是解题的关键，通过分离常数法变形解析式，便可直观地判断单调性.
解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视.
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.
方法二　利用函数性质解不等式、方程问题
思路分析　解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性
解析　∵f(x)＝ln x＋2x＋x，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝3，∴原不等式可化为f(x2－3)≤f(1)，
(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 022(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 022(y－1)＝1，则x＋y＝_____.
思路分析　观察两方程形式特征→借助函数f(t)＝t3＋2 022t的单调性、奇偶性→f(x－1)＝f(1－y)→求出x＋y
解析　令f(t)＝t3＋2 022t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，可得x－1＝1－y，∴x＋y＝2.
函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题.
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.
方法三　构造函数解决一些数学问题
例3　(多选)(2021·滨州模拟)若0