初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程2.1 一元二次方程同步达标检测题

专题2.10  一元二次方程章末重难点突破

【浙教版】

【考点1  一元二次方程的概念】

【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x的方程（m2﹣16）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m　　时，是一元一次方程；当m　    　时，是一元二次方程．

【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x的方程（m+1）8x+2＝0是一元二次方程，则m＝　   　．

【变式1-2】关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k　     　．

【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　              　．

【考点2  一元二次方程的解】

【例2】（2021•武汉模拟）已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（　　）

A．2020 B．2021 C． D．

【变式2-1】（2021•三台县一模）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3

【变式2-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　　．

【变式2-3】（2021春•海淀区校级期末）已知x2﹣4x+1＝0，则的值为 　   　．

【考点3  解一元二次方程】

【例3】（2020秋•武侯区校级月考）解方程：

（1）2（x+1）20；                         （2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；

（3）x（x+3）＝5（x+3）；                     （4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0．

【变式3-1】（2020秋•孟津县校级月考）解方程：

（1）（x+1）（x﹣1）；                 （2）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0；

（3）x2x﹣6＝0；                           （4）4（x﹣2）2﹣（3x﹣1）2＝0．

【变式3-2】（2020春•莱芜区月考）解下列方程

（1）x2+12x+27＝0（配方法）；                  （2）x（5x+4）＝5x+4；

（3）（3x+2）（x+3）＝x+14；                   （4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．

【变式3-3】（2021秋•恩阳区 月考）解方程：

①x2+（）x0（因式分解法）            ②5x2+2x﹣1＝0（公式法）

③y2+6y+2＝0（配方法）                            ④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）

⑤1（换元法）                         ⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）

【考点4  根的判别式综合】

【例4】（2021春•西湖区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣xm＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（　　）

A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1

【变式4-1】（2021春•滨江区期末）关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（　　）

A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 

C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1

【变式4-2】（2020秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0．

（1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；

（2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值．

【变式4-3】（2020秋•大余县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【考点5  根与系数的关系综合】

【例5】（2020秋•武侯区校级月考）已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝　  　．

【变式5-1】（2021•常州模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值为　  　．

【变式5-2】（2021春•叶集区期末）已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【变式5-3】（2020秋•乐清市月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+1＝0．

（1）若方程有两实数根，求m的范围；

（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1|+|x2|＝x1x2，求m．

【考点6  一元二次方程中的新定义问题】

【例6】（2020秋•句容市期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．

（1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”　      　．

（2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根x3、x4＝　  ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为　      　，证明你的结论．

（3）已知关于x的方程2020x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2020的两根为　              　．

【变式6-1】（2020秋•灌云县期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

（1）若方程为x2﹣2x＝0．写出该方程的衍生点M的坐标．

（2）若关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；

（3）是否存在b、c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，说明理由．

【变式6-2】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有：x1+x2，x1•x2，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．

（1）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两不相等的根分别为x1，x2，且满足：|x1+x2|＝x1x2，求k的值；

（2）若α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，记S1＝α+β，S2＝α2+β2，…，Sn＝αn+βn，

①计算S1，S2；

②当n为不小于3的整数时，证明：Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn；

③求（）7+（）7的值．

【变式6-3】（2021•无棣县一模）（1）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实根，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求k的值．

（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，设s1＝α+β，，…，．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s2﹣s1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题：

①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s1，s2的值．

②猜想：当n≥3时，sn，sn﹣1，sn﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．

（注：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0若有两根x1，x2，则有；）

【考点7  一元二次方程的实际应用】

【例7】（2021春•成都期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：

（1）每天增长的百分率是多少？

（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．

①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

【变式7-1】（2020秋•渝中区期末）2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．

（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？

（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？

【变式7-2】（2020•夷陵区模拟）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．

（1）求出m的值；

（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．

①分别求出他们三人号召的成功率；

②求出n的值．

【变式7-3】（2020秋•雁江区期末）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．

①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

【考点8  一元二次方程与几何综合】

【例8】（2020秋•鼓楼区期中）如图，在一块矩形ABCD的草坪上有两条部分重叠的平行四边形（▱AEFH、▱BFHG）小路，小路进出口的宽AE、BG、FH均为2m，小路的边EF、GH与AB所成的夹角均为60°，小路的面积是整个矩形面积的，设AB长为xm．

（1）EF与GH的交点记为P，△PHF的面积为　 　m2．

（2）用含x的代数式分别表示线段BE、BC的长（直接写出答案，不必说明理由）；

（3）求x的值．

【变式8-1】（2021春•嘉兴期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃，其中AB＝12米，BC＝20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH）组成．

（1）若环形小道面积是花圃面积的，求小道的宽度．

（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I，J，K分别在边EH，EF，FG上，L为花圃内一点，四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形．已知KG的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL与四边形GLJK的面积之和是花圃面积的，求小道的宽度．

【变式8-2】（2021•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．

（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？

（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．

【变式8-3】（2020秋•晋安区期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）写出数轴上点B表示的数为　  　，P所表示的数为　  　（用含t的代数式表示）；

（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？