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    专题1.8 平行线章末重难点突破(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版)

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    专题1.8 平行线章末重难点突破(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版)

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    这是一份专题1.8 平行线章末重难点突破(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版),共15页。

    【考点1 三线八角的判断】
    【例1】如图,同位角共有( )对.
    A.6B.5C.8D.7
    【变式1-1】如图,图中的内错角有( )对.
    A.5B.7C.8D.10
    【变式1-2】如图所示,若平面上4条两两相交,且无三线共点的4条直线,则共有同旁内角的对数为( )
    A.12对B.15对C.24对D.32对
    【变式1-3】如图,“4”字图中有a对同位角,b对内错角,c对同旁内角,则abc= .
    【考点2 填写推理过程】
    【例2】(2021秋•东坡区期末)如图,AB∥CD,点E在线段CD上,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F,连接BD,∠1=∠2,∠3=∠4.
    求证:AF∥BC.
    证明:理由如下:
    ∵AB∥CD,
    ∴∠4= . ( )
    ∵∠3=∠4,(已知)
    ∴∠3= .(等量代换)
    ∵∠1=∠2,( )
    ∴∠1+ =∠2+ .(等式性质)
    即 = .(等式性质)
    ∴∠3= .(等量代换)
    ∴AF∥BC.( )
    【变式2-1】(2021秋•洛江区期末)如图,已知AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,∠3=∠C.试说明:∠1=∠2.
    (请在下面的解答中,填上适当的理由或数学式).
    解:∵∠3=∠C,
    ∴GD∥AC ( ),
    ∴∠2=∠4 ( ).
    ∵AD⊥BC,EF⊥BC,
    ∴AD∥EF ( ),
    ∴∠4=∠ .
    ∴∠1=∠2 ( ).
    【变式2-2】(2021春•普陀区校级月考)如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD=180°,EA平分∠BAG,FG平分∠AGC,请说明AE∥GF的理由.
    解:因为∠BAG+∠AGD=180°( ),
    ∠AGC+∠AGD=180°( ),
    所以∠BAG=∠AGC( ).
    因为EA平分∠BAG,
    所以∠1=12 ( ).
    因为FG平分∠AGC,
    所以∠2=12 ,
    得∠1=∠2( ),
    所以AE∥GF( ).
    【变式2-3】(2021秋•泉州期末)填空:(将下面的推理过程及依据补充完整)
    如图,已知:CD平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF,那么EF平分∠DEB吗?
    解:∵CD平分∠ACB(已知),
    ∴∠1=∠2( ),
    ∵AC∥DE(已知),
    ∴∠1=∠ ,
    ∴∠2=∠3(等量代换),
    ∵CD∥EF(已知),
    ∴∠4=∠3( ),∠2=∠5( ),
    ∴∠4=∠5(等量代换).
    ∴EF平分∠DEB.
    【考点3 平行线的判定与性质综合证明题】
    【例3】(2021春•镇江期中)已知:如图所示,∠BAC和∠ACD的平分线交于E,AE交CD于点F,∠1+∠2=90°.
    (1)求证:AB∥CD;
    (2)试探究∠2与∠3的数量关系,并说明理由.
    【变式3-1】(2021秋•建宁县期末)如图,一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A,G,H,D,且∠1=∠2,∠B=∠C.
    求证:(1)BF∥EC;
    (2)∠A=∠D.
    【变式3-2】(2021秋•九龙县期末)如图,已知点A在EF上,点P,Q在BC上,∠E=∠EMA,∠BQM=∠BMQ.
    (1)求证:EF∥BC;
    (2)若FP⊥AC,∠2+∠C=90°,求证:∠1=∠B;
    (3)若∠3+∠4=180°,∠BAF=3∠F﹣20°,求∠B的度数.
    【变式3-3】(2021秋•安居区期末)如图,∠ADE+∠BCF=180°,AF平分∠BAD,∠BAD=2∠F.
    (1)AD与BC平行吗?请说明理由.
    (2)AB与EF的位置关系如何?为什么?
    (3)若BE平分∠ABC.试说明:①∠ABC=2∠E;②∠E+∠F=90°.
    【考点4 平移中几何综合问题】
    【例4】(2021春•和平区校级月考)已知:AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在直线交于点E,∠ADC=70°.
    (1)则∠EDC= (度);
    (2)若∠ABC=n°,求∠BED的度数(用含n的式子表示).
    (3)将线段BC沿DC方向平移,使得点B在点A右侧,其他条件不变,若∠ABC=n°,
    则∠BED= (度)(用含n的式子表示).
    【变式4-1】(2021春•曲周县期末)【探究】如图1,已知直线MN∥PQ,点A在MN上,点C在PQ上,点E在MN,PQ两平行线之间,则∠AEC=∠ +∠ ;
    【应用】如图2,已知直线l1∥l2,点A,B在l1上,点C,D在l2上,连接AD,BC.AE,CE分别是∠BAD,∠BCD的平分线,∠α=70°,∠β=30°.
    (1)求∠AEC的度数;
    (2)将线段AD沿CD方向平移,如图3所示,其他条件不变,求∠AEC的度数.
    【变式4-2】(2021春•奉化区校级期末)如图1,AB,BC被直线AC所截,点D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB,连接AE,∠B=∠E=70°.
    (1)请说明AE∥BC的理由.
    (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接DQ.
    ①如图2,当DE⊥DQ时,求∠Q的度数;
    ②在整个运动中,当∠Q=2∠EDQ时,则∠Q= .
    【变式4-3】(2021春•天元区期末)已知BC∥OA,∠B=∠A=100°,试回答下列问题:
    (1)如图①所示,试说明OB∥AC;
    (2)如图②,若点E,F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF.则∠EOC的度数等于 (在横线上填上答案即可);
    (3)在(2)的条件下,若平行移动AC,如图③,那么∠OCB:∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值;
    (4)在(3)的条件下,在平行移动AC的过程中,若使∠OEB=∠OCA,此时∠OCA的度数等于 (在横线上填上答案即可).
    【考点5 平行线中的辅助线构造】
    【例5】(2021秋•西乡县期末)(1)【问题】
    如图1,若AB∥CD,∠BEP=25°,∠PFC=150°.求∠EPF的度数;
    (2)【问题迁移】
    如图2,AB∥CD,点P在AB的上方,问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何数量关系?请说明理由;
    (3)【联想拓展】
    如图3所示,在(2)的条件下,已知∠EPF=α,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,用含有α的式子表示∠G的度数.
    【变式5-1】(2021秋•济阳区期末)如图,AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0°<∠EPF<180°.
    (1)试问:∠AEP,∠CFP,∠EPF满足怎样的数量关系?
    解:由于点P是平行线AB,CD之间一动点,因此需对点P的位置进行分类讨论.
    ①如图1,当点P在EF的左侧时,猜想∠AEP,∠CFP,∠EPF满足的数量关系,并说明理由;
    ②如图2,当点P在EF的右侧时,直接写出∠AEP,∠CFP,∠EPF满足的数量关系为 .
    (2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB,∠PFD,且点P在EF左侧.
    ①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为 ;
    ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,并说明理由.
    【变式5-2】(2021秋•农安县期末)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.
    (1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;
    (2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 .
    (3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.
    【变式5-3】(2021秋•南岗区校级期中)已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD.
    (1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC;
    (2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系;
    (3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.
    【考点6 与平行线有关的实际问题】
    【例6】(2021秋•罗湖区期末)请解答下列各题:
    (1)阅读并回答:
    科学实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等.如图1,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射.此时∠1=∠2,∠3=∠4.
    ①由条件可知:∠1=∠3,依据是 ,∠2=∠4,依据是 .
    ②反射光线BC与EF平行,依据是 .
    (2)解决问题:
    如图2,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b镜反射,若b射出的光线n平行于m,且∠1=42°,则∠2= ;∠3= .
    【变式6-1】(2021秋•嵩县期末)图1展示了光线反射定律:EF是镜面AB的垂线,一束光线m射到平面镜AB上,被AB反射后的光线为n,则入射光线m,反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1=θ2.
    (1)在图1中,证明:∠1=∠2.
    (2)图2中,AB,BC是平面镜,入射光线m经过两次反射后得到反射光线n,已知∠1=30°,∠4=60°,判断直线m与直线n的位置关系,并说明理由.
    (3)图3是潜望镜工作原理示意图,AB,CD是平行放置的两面平面镜.请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的?
    【变式6-2】(2020秋•开江县期末)当光线经过镜面反射时,入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如:在图①、图②中都有∠1=∠2,∠3=∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α.
    (1)如图①,若α=90°,判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系,并说明理由.
    (2)如图②,若90°<α<180°,入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β.探索α与β的数量关系,并说明理由.
    (3)如图③,若α=130°,设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角,入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=x(0°<x<90°).已知入射光线EF从镜面AB开始反射,经过n(n为正整数,且n≤3)次反射,当第n次反射光线与入射光线EF平行时,请直接写出∠BCD的度数(可用含x的代数式表示).
    【变式6-3】(2021春•广宁县期末)“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度,假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
    (1)填空:∠BAN= ;
    (2)如图2,
    ①若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,设灯A转动t秒(0<t<90),则∠MAM'= ,∠PBP'= ;(用含t的式子表示)
    ②在①的条件下,若AM′∥BP',则t= 秒.
    (3)如图3,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
    【考点7 平行线中的旋转问题】
    【例7】(2021秋•三水区期末)将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图①),其中∠ACB=∠DCE=90°,∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°,设∠ACE=x.
    (1)填空:∠BCE= ,∠ACD= ;(用含x的代数式表示)
    (2)若∠BCD=5∠ACE,求∠ACE的度数;
    (3)若三角板ABC不动,三角板DCE绕顶点C转动一周,当∠BCE等于多少度时CD∥AB?
    【变式7-1】(2021秋•太仓市期末)如图所示,已知直线AB∥直线CD,直线EF分别交直线AB、CD于点A,C.且∠BAC=60°,现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM.同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN,当射线CN旋转至与射线CA重合时,则射线CN、射线AM均停止转动,设旋转时间为t(秒).
    (1)在旋转过程中,若射线AM与射线CN相交,设交点为P.
    ①当t=20(秒)时,则∠CPA= °;
    ②若∠CPA=70°,求此时t的值;
    (2)在旋转过程中,是否存在AM∥CN?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
    【变式7-2】(2021春•醴陵市期末)钱塘江汛期来临前,防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是3度/秒,灯B转动的速度是1度/秒.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN.
    (1)当A灯转动t秒时(0<t<60),用t的代数式表示灯A射线转动的角度大小;
    (2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
    【变式7-3】(2021春•莱山区期末)我区正在打造某河流夜间景观带,计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯.如图1,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射.若灯A转动的速度是2度/秒,灯B转动的速度是1度/秒,假定河两岸是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM=2∠BAN.
    (1)∠BAN= 度.
    (2)灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要 秒;
    (3)若灯B射线BD(交MN于点D)先转动30秒,灯A射线AC(交PQ于点C)才开始转动.设AC转动时间为t秒,当AC到达AN之前时,如图2所示.
    ①∠PBD= 度,∠MAC= 度(用含有t的代数式表示);
    ②求当AC转动几秒时,两灯的光束射线AC∥BD?
    (4)在BD到达BQ之前,是否还存在某一时刻,使两灯的光束射线AC∥BD?若存在,直接写出转动时间,若不存在,请说明理由.
    【考点8 与平行线有关的综合题】
    【例8】(2021秋•丰泽区期末)已知AB∥CD,点M在直线AB上,点N、Q在直线CD上,点P在直线AB、CD之间,连接PM、PN、PQ,PQ平分∠MPN,如图①.
    (1)若∠PMA=α、∠PQC=β,求∠NPQ的度数(用含α,β的式子表示);
    (2)过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F,如图②,请你判断EF与PQ的位置关系,并说明理由;
    (3)在(2)的条件下,连接EN,如图③,若∠NEF=12∠PMA,求证:NE平分∠PNQ.
    【变式8-1】(2020秋•仁寿县期末)如图①.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于点B,过点B作BD⊥AM于点D,设∠BCN=α.
    (1)若α=30°,求∠ABD的度数;
    (2)如图②,若点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC,求∠EBF的度数;
    (3)如图③,在(2)问的条件下,若CF平分∠BCH,且∠BFC=3∠BCN,求∠EBC的度数.
    【变式8-2】(2021秋•香坊区校级期中)点E在射线DA上,点F、G为射线BC上两个动点,满足∠DBF=∠DEF,∠BDG=∠BGD,DG平分∠BDE.
    (1)如图1,当点G在点F右侧时,求证:BD∥EF;
    (2)如图2,当点G在点F左侧时,求证:∠DGE=∠BDG+∠FEG;
    (3)如图3,在(2)的条件下,P为BD延长线上一点,DM平分∠BDG,交BC于点M,DN平分∠PDM,交EF于点N,连接NG,若DG⊥NG,∠B﹣∠DNG=∠EDN,求∠B的度数.
    【变式8-3】(2021秋•南岗区校级期末)已知:直线AB∥CD,一块三角板EFH,其中∠EFH=90°,∠EHF=60°.
    (1)如图1,三角板EFH的顶点H落在直线CD上,并使EH与直线AB相交于点G,若∠2=2∠1,求∠1的度数;
    (2)如图2,当三角板EFH的顶点F落在直线AB上,且顶点H仍在直线CD上时,EF与直线CD相交于点M,试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系;
    (3)如图3,当三角板EFH的顶点F落在直线AB上,顶点H在AB、CD之间,而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH,在线段EH上取点P,连接FP并延长交直线CD于点T,在线段EF上取点K,连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q,若∠Q﹣∠HFT=15°,且∠EFT=∠ETF,求证:PQ∥FH.

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