初中浙教版第二章 一元二次方程2.3 一元二次方程的应用巩固练习

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专题2.7 一元二次方程的应用-重难点题型
【浙教版】


【知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤】
①审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
②设：用字母表示题目中的一个未知量；
③列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
④解：解方程求出未知数的值；
⑤验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
⑥答：写出答案，包括单位名称.
【题型1 面积问题】
【例1】（2020秋•紫阳县期末）如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2，求道路的宽度．

【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（16﹣x）（10﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：原图经过平移转化如图所示，

设道路宽为xm，
根据题意，得（16﹣x）（10﹣x）＝135，
整理得：x2﹣26x+25＝0，
解得：x1＝25（不合题意，舍去），x2＝1．
则道路宽度为1m．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
【变式1-1】（2020秋•仙居县期末）为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得
（34﹣2x）（20﹣x）＝608，
整理，得x2﹣37x+36＝0．
解得x1＝1，x2＝36，
∵36＞20（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．
【变式1-2】（2021春•鄞州区期中）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．

【分析】（1）设CF的长度为xm，则CD=65-x2 m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值；
（2）设BF的长为ym，则AD＝（20﹣y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设CF的长度为xm，则CD=65-x2 m，
依题意得：x•65-x2=450，
解得：x1＝20，x2＝45．
∵墙AB的长为25m，
∴x＝45不合题意，舍去，
∴CF＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20m．
（2）设BF的长为ym，则AD=65-y-(25+y)2=（20﹣y）m，
依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去），
∴BF＝5m．
答：BF的长为5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-3】（2021春•萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．

【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣24＜0，即可得出饲养场的面积不能达到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型2 平均变化率问题】
【例2】（2020秋•柘城县月考）某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为40（1+x）、40（1+x）2，
∴40+40（1+x）+40（1+x）2＝162．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
【变式2-1】（2020秋•锡山区期中）根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是　 　．
【分析】设平均每次降低成本的百分率是x，根据生产该产品原来的成本价及经过连续两次降低成本后的成本价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率是x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-2】（2020秋•平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
根据题意，得：128 （1+x）2＝288
解得x1＝0.5；x2＝﹣2.5（舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）第四个月进馆人数为288（1+12）＝432（人次），
由于432＜500
答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
【变式2-3】（2020秋•秦淮区期中）某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．
（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：

9月份生产数量
生产数量的增长率
10月份生产数量
产品A
200
　 　
　 　
产品B
100
x
　 　
（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．
【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；
（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．
【解答】解：（1）由题意，得：

9月份生产数量
生产数量的增长率
10月份生产数量
产品A
200
2x
200（1+2x）
产品B
100
x
100（1+x）
故答案是：2x；200（1+2x）；100（1+x）；
（2）90×22+1=60（元）
90×12+1=30（元）
60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）＝（60×200+30×100）（1+4.4x）
解得x1＝0（舍去），x2=120．
即x的值是120．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【题型3 销售利润问题】
【例3】（2020秋•无锡期中）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．
（1）当每个纪念品定价为3.6元时，商店每天能卖出　 　件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
【分析】（1）直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出的件数；
（2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，
∴当每个纪念品定价为3.6元时，商店每天能卖出：500﹣10×3.6-30.1=440（件）；
故答案为：440；
（2）设定价x元，
由题意得：（x﹣2）（500-x-30.1×10）＝800，
解得：x1＝4 x2＝6，
∵售价不能超过批发价的2.5倍，
∴x＝4，
答：定价为4元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【变式3-1】（2021秋•正定县期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为x元（x＞7），
（1）请用含x的代数式表示：每千克水果的利润　 　元及每天的销售量　 　千克．
（2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客．单价应定为多少元？
【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空；
（2）根据利润＝售价﹣进价列出方程并解答．
【解答】解：（1）每千克水果的利润 （x﹣5）元及每天的销售量[160﹣20（x﹣7）]千克．
故答案是：（x﹣5）；[160﹣20（x﹣7）]；
（2）由题意知，（x﹣5）；[160﹣20（x﹣7）]＝420．
化简得：x2﹣20x+96＝0．
解得x1＝8，x2＝12．
因为让利于顾客，
所以x＝8符合题意．
答：单价应定为8元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【变式3-2】（2020秋•澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价上涨m元，每月能售出　 　个排球（用m的代数式表示）．
（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
【分析】（1）由销售数量＝600﹣20×上涨价格，即可得出结论；
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，根据月利润＝单件利润×月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：600﹣20m．
故答案为：600﹣20m．
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，
根据题意得：（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，
解得：x1＝3，x2＝4．
当x＝3时，销量为1200＜1300，适合题意；
当x＝4时，销量为1400＞1300，舍去．
∴40﹣x＝37．
答：每个排球的售价为37元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2020•广西一模）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了12m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．
【分析】（1）设降价x元，根据利润＝售价﹣成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设降价x元，
依题意，得：8000×0.9﹣x﹣5000≥5000×20%，
解得：x≤1200．
答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．
（2）依题意，得：[8000（1+m%）﹣40m﹣5000]×8（1+12m%）＝50000，
整理，得：m2+275m﹣16250＝0，
解得：m1＝50，m2＝﹣325（不合题意，舍去）．
答：m的值为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【题型4 传播问题】
【例4】（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）
A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【变式4-1】（2020秋•和平区校级月考）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（　　）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成n•n＝n2个细胞，结合题意可得答案．
【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
【变式4-2】（2020秋•莆田期中）“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　 　．
【分析】根据经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1+n+n2＝111，
整理得：n2+n﹣110＝0，
解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-3】（2020秋•扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型5 循环问题】
【例5】（2020秋•西城区期末）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）12×4×3＝6（场）．
故答案为：6．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：12x（x﹣1）＝36，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-1】（2021秋•凉州区校级月考）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？
【分析】设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，根据礼品店共售出礼品30件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝30，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：该兴趣小组的人数为6人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-2】象棋比赛中，每个选手与其他选手将比赛一场，每局胜者记2分，败者记0分，如果平局，每人各记1分，今有4位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025，2070，2080，2085分，经核实，其中只有一位同学是正确的，试求这次比赛中共有多少名选手参加？
【分析】每局的得分均为2分，2人的比赛只有一局；局数=12×选手数×（选手数﹣1）；等量关系为：2×局数＝所得分数，根据所得分数应是2的倍数可舍去2025，2085，把剩下的分数代入看哪个有整数解即可．
【解答】解：设这次比赛中共有x名选手参加．易得分数一定不是2025，2085，
2×12×x（x﹣1）＝2070，
解得x1＝46，x2＝﹣45（不合题意，舍去）
∵只有一位同学是正确的，
∴正确的分数是2070，共有46名选手参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用；得到局数是解决本题的难点；判断出相应的分数是解决本题的易错点．
【变式5-3】（2021秋•和平区期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他　 　家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　 　份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【分析】（Ⅰ）用x表示出每家公司与其他公司签订的合同数，则用x表示出所有公司共签订的合同数；
（Ⅱ）利用所有公司共签订的合同数列方程得到12x（x﹣1）＝45，然后解方程、检验、作答．
【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了12x（x﹣1）份合同；
（Ⅱ）根据题意列方程得：12x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去），
检验：x＝﹣9不合题意舍去，
所以x＝10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
故答案为：（x﹣1）；12x（x﹣1）．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
【题型6 数字问题】
【例6】（2020秋•汉寿县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式6-1】（2020秋•沙河口区期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（　　）
A．a2+（a﹣4）2＝10（a﹣4）+a﹣4
B．a2+（a+4）2＝10a+a﹣4﹣4
C．a2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4
D．a2+（a﹣4）2＝10a+（a﹣4）﹣4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（a+4）+a，这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10（x+4）
这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，
∵两数相差4，
∴a2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
【变式6-2】（2020秋•昌平区期末）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　）

A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192
C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可．
【解答】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，
根据题意得出：x（x+16）＝192，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
【变式6-3】（2020秋•沧州期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是　 　．

【分析】根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案．
【解答】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：
x（x+8）＝128，
整理得：x2+8x﹣128＝0，
（x﹣8）（x+16）＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣16，
则这4个数中最小的数是8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出最大数是解题关键．
【题型7 与一元二次方程有关的三角形动点问题】
【例7】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=12QB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴QE=12QB．
设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，
根据题意得：12•（6﹣t）•t＝4，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，
∴t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【变式7-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

【解题思路】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解；
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm，
进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
【解答过程】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ=12×4×4＝8（cm2）．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：12S△ABC=12×12×12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：

S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8 时如图2：

S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：

S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
【变式7-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴12（6﹣x）•2x=12×12×6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5-2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：12（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：12（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2，t2＝5-2，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5-2秒、5秒或5+2秒后，△PBQ的面积为1．
【变式7-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．

【解题思路】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S△PQB＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2﹣4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．
【解答过程】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由12BP⋅BQ=4，得12(5-x)×2x=4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为210cm；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即BP×BQ2=7，(5-t)×2t2=7，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
【题型8 与一元二次方程有关的四边形动点问题】
【例8】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s．

【解题思路】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【变式8-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了　 　秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．

【解题思路】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【解答过程】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，
当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，
PB＝6﹣x，BQ＝2x，
所以S△PBQ=12PB•BQ=12×2x×（6﹣x）＝8，
解得x＝2或4，
又知x＜3，
故x＝2符合题意，
当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，
S△PBQ=12（6﹣x）×6＝8，
解得x=103．
故答案为：2或103．
【变式8-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？

【解题思路】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答过程】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：12×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1=85，t2=245（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．

【变式8-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：
（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？
（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；
设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△MON的面积为14cm2．

【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；
（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，利用勾股定理求得MN的平方即可；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．
【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD中，AC＝8cm BD＝6cm，
∴OA＝4，OB＝3，
∵当t＝1秒时，OM＝4﹣2＝2，ON＝3﹣1＝2，
∴MN=22+22=22；
（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，
W＝MN2＝OM2+ON2＝（2t﹣4）2+（3﹣t）2＝5t2﹣22t+25；
（3）①当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．
12（4﹣2t）（3﹣t）=14；
解得t1=5+22，t2=5-22，
∵t＜2，
∴t=5-22；
②当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，
12（2t﹣4）（3﹣t）=14；
解得t1＝t2=52；
③当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，
12（2t﹣4）（t﹣3）=14；
解得t1=5+22，t2=5-22，
∵t＞3，
∴t=5+22．