上海市虹口区迅行中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份上海市虹口区迅行中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值可以是，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市虹口区迅行中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
3．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
4．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
5．已知a＜0，那么可化简为（　　）
A．2b B．﹣ C．﹣ D．
6．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程（x﹣3）（x+1）＝x﹣3的解是　 　．
8．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60°角，则梯子的顶端离地面的高度为　 　m（结果保留根号）．

9．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝14cm，那么AF＝　 　cm．

10．函数y＝自变量x的取值范围是　 　．
11．y是关于x的正比例函数，当x＝1时y＝3，则y与x的函数关系式是　 　．
12．如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是　 　．

13．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣（a≠0）的图象上，如果x1＜x2＜0，那么y1、y2和0的大小关系是 　 　.（用“＜”连接）
14．已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为：　 　．
15．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是　 　．

16．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中正确的是　 　．（填写序号）
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝4，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，那么BN＝　 　．
18．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于 　 　．

三、简答题：（本大题共7题，满分42分）
19．已知，△ABC的三边a、b、c满足|a﹣1|++（c﹣）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．已知代数式x2﹣4x+2．
（1）当x＝时，求代数式的值；
（2）求当x为何值时，代数式的值为0．
21．已知正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象交于P（2，a），与y＝的图象交于点Q（b，4），求n的值和P、Q两点的距离．
22．已知直线l1经过点A（5，0）和点B（，﹣5）
（1）求直线l1的表达式；
（2）设直线l2的解析式为y＝﹣2x+2，且l2与x轴交于点D，直线l1交l2于点C，求△CAD的面积．
23．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1．
（1）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（2）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（3）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，联结AC，若△ABC是等腰三角形，求k的值．

25．如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：BD＝2EC； （2）若BD＝10cm，求AC的长．

四、解答题：（本大题共两题，满分22分）
26．已知：三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．
（1）设BE＝x，B′C＝y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

27．小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．
图1中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；图2中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝3cm．
图3是小刘同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，小刘同学发现：F、C两点间的距离逐渐 　 　；（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
请你分别完成上述两个问题的解答过程．




参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据实数运算的法则和方法分别进行计算化简，即可求出正确答案．
解：A、∵无法进行合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、∵，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的运算，在解题时要能够灵活运用实数的运算法则对要求的式子进行化简整理是本题的关键．
2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
【分析】反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣1＜0，即k＜1，根据k的取值范围进行选择．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
即k＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
3．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质分别进行判断即可．
解：A、y＝是反比例函数，k＝2＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以A选项不合题意；
B、y＝﹣2x+1是一次函数，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，所以B选项不合题意；
C、y＝x﹣2是一次函数，k＝1＞0，y随x的增大而增大，所以C选项符合题意；
D、y＝﹣x﹣2是一次函数，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，所以D选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
4．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5．已知a＜0，那么可化简为（　　）
A．2b B．﹣ C．﹣ D．
【分析】根据a＜0，﹣＞0，得出b＞0，然后化简二次根试．
解：∵a＜0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴原式＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
6．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2|k|．
解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积＝2|k|＝2×4＝8．
故选：A．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．方程（x﹣3）（x+1）＝x﹣3的解是　X1＝0，X2＝3　．
【分析】由于方程的左右两边都含有公因式x﹣3，可先移项，然后用提取公因式法求解．
解：（x﹣3）（x+1）＝x﹣3，
（x﹣3）（x+1﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x＝0，
解得x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
8．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60°角，则梯子的顶端离地面的高度为　　m（结果保留根号）．

【分析】由题意得到墙与地面垂直，梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成直角三角形，解直角三角形即可．
解：根据题意得：梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成如图所示的直角三角形，
且AB＝4，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴AC＝AB•sin∠B＝4×＝2．
故答案为2．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造直角三角形并求解．
9．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝14cm，那么AF＝　7　cm．

【分析】求出∠AFC＝∠E＝45°，由直角三角形的性质求出AC＝7cm，由勾股定理可得出答案．
解：由题意知，∠ACB＝∠D＝90°，
∴CF∥DE，
∵∠E＝45°，
∴∠AFC＝∠E＝45°，
∴AC＝CF，
∵AB＝14cm，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝7cm，
∴AF＝＝＝7（cm）．
故答案为：7．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．函数y＝自变量x的取值范围是　x≥5　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5
【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．
11．y是关于x的正比例函数，当x＝1时y＝3，则y与x的函数关系式是　y＝3x　．
【分析】设y＝kx，然后把对应值x＝1，y＝3代入求出k即可．
解：设y＝kx，
当x＝1时，y＝3，
所以k＝3，
所以正比例函数解析式为y＝3x．
答案为y＝3x．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），然后把一组对应值代入求出k即可得到正比例函数解析式．
12．如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是　15　．

【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．
解：∵AC＝40，AD：DC＝5：3，
∴CD＝40×＝15．
∵BD平分∠BAC交AC于D，
∴D点到AB的距离是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
13．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣（a≠0）的图象上，如果x1＜x2＜0，那么y1、y2和0的大小关系是 　0＜y1＜y2　.（用“＜”连接）
【分析】因为﹣a2＜0，利用反比例函数的图象的性质，在每个象限内，y随x的增大而增大，即可求出y1、y2和0的大小关系．
解：∵﹣a2＜0，
∴在每个象限内，反比例函数y＝﹣（a≠0）的图象上y随着x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
故答案为：0＜y1＜y2．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是判断出﹣a2的正负性．
14．已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为：　（x﹣）（x+2）　．
【分析】直接利用能使二次三项式的值为零，即为方程的根，进而分解因式得出即可．
解：∵与能使二次三项式的值为零，
∴
＝（x﹣）（x+2）．
故答案为：（x﹣）（x+2）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确理解题意是解题关键．
15．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是　2　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形EODA的面积为：1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为：3﹣1＝2．
解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，
∴矩形EODA的面积为：1，矩形EOCB的面积是3，
∴矩形ABCD的面积为：3﹣1＝2，
故答案为2．

【点评】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EODA和矩形BCOE的面积是解题关键．
16．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中正确的是　①②④　．（填写序号）
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c；
　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，
故答案为：①②④．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝4，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，那么BN＝　8　．
【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠B＝15°，NA＝NB，再利用三角形的外角定理得∠2＝2∠B＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出AN，即可得到BN．
解：如图，

∵三角形折叠，得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，
∴∠1＝∠B＝15°，NA＝NB，
∴∠2＝2∠B＝30°，
而∠C＝90°，AC＝4，
∴AN＝2AC＝8，
∴BN＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
18．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于 　　．

【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP＝AP′＝3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP＝3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．
解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
即线段AB旋转后到AC，
∴旋转了90°，
∴∠PAP′＝∠BAC＝90°，AP＝AP′＝3，
∴PP′＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
三、简答题：（本大题共7题，满分42分）
19．已知，△ABC的三边a、b、c满足|a﹣1|++（c﹣）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】根据非负数的性质可得a＝1，a＝b，c＝，再根据勾股定理的逆定理可得结论．
解：△ABC是等腰直角三角形，
∵|a﹣1|++（c﹣）2＝0，
∴a﹣1＝0，a2﹣2ab+b2＝0，c﹣＝0，
∴a＝1，a＝b，c＝，
∵a2+b2＝1+1＝2，c2＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理等知识，求出a、b、c的值是解题的关键．
20．已知代数式x2﹣4x+2．
（1）当x＝时，求代数式的值；
（2）求当x为何值时，代数式的值为0．
【分析】（1）先分母有理数，化简x，再代入代数式求值；
（2）根据题意先列方程，再求解一元二次方程即可．
解：（1）x＝
＝
＝
＝2+．
当x＝2+时，
x2﹣4x+2＝（2+）2﹣4×（2+）+2
＝4+4+3﹣8﹣4+2
＝1．
（2）由题意，得x2﹣4x+2＝0，
解得x＝
＝
＝2±．
即当x＝2时，代数式x2﹣4x+2的值为0．
【点评】本题考查了二次根式、一元二次方程，掌握二次根式的运算法则、一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21．已知正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象交于P（2，a），与y＝的图象交于点Q（b，4），求n的值和P、Q两点的距离．
【分析】由反比例函数y＝求得点P的坐标，进而利用待定系数法求得正比例函数的解析式，进一步求得点Q的坐标，代入y＝即可求得n的值，利用勾股定理求得P、Q两点的距离．
解：∵反比例函数y＝的图象过P（2，a），
∴a＝＝1，
∴P（2，1），
∵正比例函数y＝mx的图象过点P，
∴1＝2m，
∴m＝，
∴正比例函数为y＝x，
把点Q（b，4）代入y＝x得，4＝b，
∴b＝8，
∴Q（8，4），
∵函数y＝的图象过点Q（8，4），
∴n＝8×4＝32，
∴PQ＝＝3，
∴P、Q两点的距离为3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，熟知图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
22．已知直线l1经过点A（5，0）和点B（，﹣5）
（1）求直线l1的表达式；
（2）设直线l2的解析式为y＝﹣2x+2，且l2与x轴交于点D，直线l1交l2于点C，求△CAD的面积．
【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）分别求出C、D的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．
解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝2，b＝﹣10，
即直线l1的表达式是y＝2x﹣10；

（2）y＝﹣2x+2，
当y＝0时，x＝1，
即D点的坐标为（1，0），
解方程组得：，
即C点的坐标为（3，﹣4），
y2＝﹣2x+2，
当y＝0时，x＝1，即OD＝1，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴AD＝5﹣1＝4，
∴△CAD的面积是＝8．
【点评】本题考查了两函数的相交问题、一次函数的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．
23．已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1．
（1）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（2）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（3）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【分析】（1）截距m﹣1等于﹣3，解方程即可；
（2）根据平行直线的解析式的k值相等列式计算即可得解；
（3）根据图象不在第二象限，k＞0，b＜0列出不等式组求解即可．
解：（1）∵函数的图象在y轴上的截距为﹣3，
∴m﹣1＝﹣3，
解得m＝﹣2；

（3）∵函数的图象平行于直线y＝x+1，
∴2m+3＝1，
解得m＝﹣1；

（3）∵函数的图象不过第二象限，
∴，，，
由①得，m＞﹣，
由②得，m≤1，
所以，﹣＜m≤1．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，联结AC，若△ABC是等腰三角形，求k的值．

【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．
解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，则kx＝，
∴点B坐标为（，3），
同理可求出点A的坐标为（，），
∵BD⊥x轴，
∴点C（，），
∴BA＝，AC＝，BC＝，
∴BA2≠AC2，
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB＝BC，则＝，
解得k＝；
②AC＝BC，则＝，
解得k＝；
故k的值为或．
【点评】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．
25．如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：BD＝2EC； （2）若BD＝10cm，求AC的长．

【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△EDB得BD＝BC，再根据E是BC的中点，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论，结合BD＝10，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵ED⊥AB，∠ACB＝∠DBC＝90°，
∴∠BFE＝∠DBC＝90°，
∴∠BEF+∠ABC＝∠BDE+∠BEF＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
又∵AB＝DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD＝BC，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∴BD＝2EC；
（2）解：由（1）知，△ABC≌△EDB，
∴BE＝AC，
∵BD＝2CE，
即BD＝2BE，
∵BD＝10，
∴AC＝BE＝5cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△EDB是解题的关键．
四、解答题：（本大题共两题，满分22分）
26．已知：三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AB＝12，BC＝6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．
（1）设BE＝x，B′C＝y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

【分析】（1）根据折叠的性质得BE＝B′E＝x，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y2+（6﹣x）2＝x2，整理后即可得到y关于x的函数关系式；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系得∠A＝30°，由折叠的性质得到∠FB'E＝∠B＝60°，然后讨论：①当∠AFB'＝90°时，则∠AB′F＝60°，易得∠B'EC＝30°，
则B′C＝B′E，即y＝x，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当∠AB'F＝90°时，则∠EB'C＝30°，即有EC＝EB′，即6﹣x＝x，解方程即可．
解：（1）∵三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，
∴BE＝B′E，
∴B'E＝x，CE＝6﹣x，
在Rt△EB'C中，B'E2＝CE2+B'C2，即y2+（6﹣x）2＝x2，
∴y＝＝2（3≤x≤6）；

（2）∵∠C＝90°，AB＝12，BC＝6，
∴∠A＝30°，
∴∠FB'E＝∠B＝60°，
①当∠AFB'＝90°时，则∠AB′F＝60°，
∴∠EB'C＝60°，
∴∠B'EC＝30°，
∴B′C＝B′E，即y＝x，
∴2＝x，解得x＝24±12，
∵3≤x≤6，
∴x＝24﹣12；
②当∠AB'F＝90°时，则∠EB'C＝30°，
∴EC＝EB′，即6﹣x＝x，解得x＝4，
所以x＝4或时，△AFB’是直角三角形．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理．
27．小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．
图1中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；图2中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝3cm．
图3是小刘同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，小刘同学发现：F、C两点间的距离逐渐 　变小　；（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
请你分别完成上述两个问题的解答过程．


【分析】（1）通过观察可得结论；
（2）①因为∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，所以AC＝10cm，又因为∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，所以DF＝3cm，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD＝∠A＝30°，故AD的长可求；
②设AD＝xcm，则FC2＝DC2+FD2＝（10﹣x）2+9，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长．
解：（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，观察图象可知，F、C两点间的距离逐渐变小．
故答案为：变小；

（2）①如图②中，

∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，
∴AC＝2BC＝10cm，
∵∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，
∴DF＝3cm，
当FC∥AB时，∠FCD＝∠A＝30°，
在Rt△FDC中，DC＝3cm，∠FCD＝30°，
∴AD＝AC﹣DC＝（10﹣3）cm，
∴AD＝（10﹣3）cm时，FC∥AB；

②设AD＝xcm，在Rt△FDC中，FC2＝DC2+FD2＝（10﹣x）2+9，
（I）当FC为斜边时，由AD2+BC2＝FC2得，x2+52＝（10﹣x）2+9，x＝；
（II）当AD为斜边时，由FC2+BC2＝AD2得，（10﹣x）2+9+52＝x2，x＝；
（Ⅲ）当BC为斜边时，由AD2+FC2＝BC2得，x2+（10﹣x）2+9＝25，整理得：x2﹣10x+66＝0，∴方程无解，
∴由（I）、（II）、（Ⅲ）得，当AD＝cm或cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了平移的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用的所学知识解决问题，属于中考常考题型．