上海市虹口区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份上海市虹口区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
2．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（ ）
A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝5
3．（4分）符号tanA表示（ ）
A．∠A的正弦B．∠A的余弦C．∠A的正切D．∠A的余切
4．（4分）已知＝5，下列说法中，不正确的是（ ）
A．＝5＝0B．与方向相同
C．D．||＝5||
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（ ）
A．AE2＝EF•FGB．AE2＝EF•AGC．AE2＝EG•FGD．AE2＝EF•EG
二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．（4分）在比例尺为1：500000的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是 千米．
8．（4分）已知线段AB＝10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP＝ ．
9．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝ （用向量的式子表示）
10．（4分）化简：2（+）﹣（﹣）＝ ．
11．（4分）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝4，EC＝8，DE＝3，那么线段BC的长是 ．
13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，那么线段DE的长是 ．
14．（4分）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，AD＝9，DC＝7，那么AB＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为 ．
16．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E在边AB上，且，则△BEC的面积与四边形AECD的面积之比为 ．
17．（4分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]，如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝3，BC＝2，如果对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B，C，B′在同一直线上，且B′C′⊥BC，那么n＝ ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若，则MF＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知a＝≠0，求的值．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设．
（1）用的式子表示向量＝ ，＝ ，＝ ；
（2）在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．
21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．
22．（10分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝4，DC＝3，求AP的长．
23．（12分）已知，在菱形ABCD中，CF⊥AB，垂足为E，CE与BD相交于点F．
（1）求证：＝；
（2）求证：DF•DB＝2BC2．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中A（2，﹣1）、B（0，3），线段AB与x轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与x轴交于点D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）连接AD、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴上且在点D的右侧，如果∠APB＝45°，求点P的坐标．
25．（14分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，CD⊥AB，E是AC边上的一点，（E与A、C不重合）连接DE，作CF⊥DE，交AB于点F，交DE于点G．
（1）求AD、CD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接EF，当△EFG与△CDG相似时，求CE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，满分24分）
1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，
B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
C、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
2．（4分）如果5x＝6y，那么下列结论正确的是（ ）
A．x：6＝y：5B．x：5＝y：6C．x＝5，y＝6D．x＝6，y＝5
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵5x＝6y，
∴＝，
故选项A正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
3．（4分）符号tanA表示（ ）
A．∠A的正弦B．∠A的余弦C．∠A的正切D．∠A的余切
【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义作出选择．
【解答】解：符号tanA表示∠A的正切．
故选：C．
【点评】考查了锐角三角函数的定义．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
4．（4分）已知＝5，下列说法中，不正确的是（ ）
A．＝5＝0B．与方向相同
C．D．||＝5||
【分析】根据相等的平面向量的性质，即可一一判断；
【解答】解：∵＝5，
∴与方向相同，∥，||＝5||，
故B、C、D正确，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是连接相等向量的性质，属于中考常考题型．
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；
B．当时，能判断ED∥BC；
C．当时，不能判断ED∥BC；
D．当时，能判断ED∥BC；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
6．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（ ）
A．AE2＝EF•FGB．AE2＝EF•AGC．AE2＝EG•FGD．AE2＝EF•EG
【分析】解答此题的关键是利用平行四边形证明出△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，然后利用对应边成比例即可解答此题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AED∽△GEB，△DEF∽△BEA，
∴＝，＝，
∴＝，
即AE2＝EF•EG．
所以选项D正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．（4分）在比例尺为1：500000的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是 15 千米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设这两地的实际距离是x厘米，则：
1：500000＝3：x，
解得x＝1500000．
1500000厘米＝15千米．
故答案为15．
【点评】本题考查了比例线段，比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
8．（4分）已知线段AB＝10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP＝ 5﹣5 ．
【分析】直接根据黄金分割的定义计算．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5．
故答案为5﹣5．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝ （用向量的式子表示）
【分析】由向量与单位向量方向相反，且，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵向量与单位向量方向相反，且，
∴＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义．
10．（4分）化简：2（+）﹣（﹣）＝ +2 ．
【分析】直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．
【解答】解：2（+）﹣（﹣）＝2+﹣+＝+2．
故答案为：+2．
【点评】此题主要考查了平面向量，正确掌握运算法则是解题关键．
11．（4分）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 1：4 ．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比1：4，
∴它们的相似比是1：4，
∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝4，EC＝8，DE＝3，那么线段BC的长是 9 ．
【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，那么线段DE的长是 8 ．
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∵DF＝20，
∴＝＝＝，
解得：DE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
14．（4分）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，AD＝9，DC＝7，那么AB＝ 12 ．
【分析】由∠ABD＝∠C、∠BAD＝∠CAB证△ABD∽△ACB，得，即AB2＝AC•AD，据此可得．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C、∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，即AB2＝AC•AD，
∵AD＝9，DC＝7
∴AC＝16，
∴AB＝12，
故答案为：12
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为 ．
【分析】由等腰三角形的性质得BD＝CD＝5，再由勾股定理得AD＝12，然后证点G为△ABC的重心，得DG＝4，GE＝BG，进而由勾股定理求出BG的长，即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∵BE是AC边上的中线，
∴点G为△ABC的重心，
∴DG＝AD＝4，GE＝BG，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及重心定理等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E在边AB上，且，则△BEC的面积与四边形AECD的面积之比为 9：7 ．
【分析】连接AC，则△AEC与△BEC的面积的比等于1：3，再根据BC＝3AD的△ABC与△ACD的面积的比等于3：1，设△ACE的面积为a，则可以表示出△BEC与四边形AECD的面积，再求出比值即可．
【解答】解：如图，连接AC，设△AEC的面积为a，
∵＝，
∴S△BEC＝3a，
∴S△ABC＝a+3a＝4a，
∵BC＝3AD，
∴S△ABC＝3S△ACD＝4a，
∴S△ACD＝a，
∴四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝a+a＝a，
∴△BEC的面积：四边形AECD的面积＝3a：a＝9：7．
故答案为：9：7．
【点评】利用等腰三角形边长的关系得到面积的关系从而得到三角形与四边形的面积的比是解决本题的主要思路．
17．（4分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]，如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝3，BC＝2，如果对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B，C，B′在同一直线上，且B′C′⊥BC，那么n＝ ．
【分析】首先判定△ABC∽△A′BC′，得到∠ABC＝∠AB′C′，继而证明∠BAB′＝90°，设B′C＝a，在△ABB′中，利用勾股定理得出32+（3n）2＝（2+a）2，证明△ABB′≌△ACC′（SAS），得到BB′＝CC′＝2+a，再在△B′C′C中，利用勾股定理得到a2+（2n）2＝（a+2）2，两式结合，利用加减消元法求出n值即可．
【解答】解：如图，
∵，∠BAC＝∠B′AC′＝θ，
∴△ABC∽△A′BC′，
∴∠ABC＝∠AB′C′，且AB′＝3n，AC′＝2n，
∵B′C′⊥BC，
∴∠BB′C′＝90°，即∠BB′A+∠AB′C′＝90°，
∴∠ABC+∠BB′A＝90°，则∠BAB′＝90°，
设B′C＝a，
在△ABB′中，AB2+AB′2＝BB′2，
即32+（3n）2＝（2+a）2，
整理得：5+9n2＝a2+4a，
∵∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
在△ABB′和△ACC′中，
，
∴△ABB′≌△ACC′（SAS），
∴BB′＝CC′＝2+a，
在△B′C′C中，B′C2+B′C′2＝CC′2，
即a2+（2n）2＝（a+2）2，
整理得：a＝n2﹣1，代入5+9n2＝a2+4a中，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质解决问题．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若，则MF＝ ．
【分析】由题意得：，设AB＝3x，则BC＝4x，设BE＝3y，则CF＝4y，根据条件可得△AEG∽△BFE，可得AG＝y，又因为AD∥BC，可得△AGM∽△CFM，根据勾股定理可得EF＝8，GF＝10，由MF＝GF即可求解．
【解答】解：由题意得：，
∴设AB＝3x，则BC＝4x，
设BE＝3y，则CF＝4y，
∵∠FEG＝90°，且四边形ABCD为矩形，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，∠AEG＝∠BFE，
∴△AEG∽△BFE，
∴，即，
∴AG＝y，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴△AGM∽△CFM，
∴，
∴GE2＝AG2+AE2＝36，EF2＝BE2+BF2＝64，
∴EF＝8，
∵∠GEF＝90°，
∴由勾股定理得：GF＝＝10，
∴MF＝GF＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，大胆根据相似三角形线段比例关系设未知数结合勾股定理是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知a＝≠0，求的值．
【分析】直接利用已知将原式变形进而化简得出答案．
【解答】解：∵a＝≠0，
∴2a＝b，3a＝c，
∴＝＝1．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出b，c的值是解题关键．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设．
（1）用的式子表示向量＝ 2 ，＝ ﹣ ，＝ ；
（2）在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．
【分析】（1）取BC的中点G，连接DG，根据平面向量定理得，，再证明△AOD∽COB，得 ，再根据平面向量定理即可；
（2）过点O作OH∥AB交BC于点H，得 ，再根据平面向量定理画图即可．
【解答】（1）解：取BC的中点G，连接DG，
∵BC＝2AD，
∴BG＝GC＝AD，
∵AD∥BC，BG，GC，AD同向，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
即，
∵AD∥BG且AD＝BG，四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵，， 与 同向，
∴，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：如图所示：过点O作OH∥CB交AB于点H，过点O作OE∥AB交BC于点E，
则向量在、方向上的分向量为：向量CE，向量BH．
【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．
21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．
【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴＝，
∵AD＝4，BC＝9，
∴BD＝6；
（2）
过D作DE⊥BC于E，
则∠DEB＝90°，
∵锐角∠DBC的正弦值为，
∴sin∠DBC＝＝，
∵BD＝6，
∴DE＝4，
∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE＝×（4+9）×4＝26．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝4，DC＝3，求AP的长．
【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论；
（2）通过证明△APC∽△ADP，可得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵＝，
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；
（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝4，
∵CD＝3，
∴AD＝1，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴，
∴AP2＝1×4＝4，
∴AP＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）已知，在菱形ABCD中，CF⊥AB，垂足为E，CE与BD相交于点F．
（1）求证：＝；
（2）求证：DF•DB＝2BC2．
【分析】（1）由菱形的性质得DC∥AB，DC＝AB，即可证明△DCF∽△BEF，得＝，则＝；
（2）联结AC交BD于点H，则∠DHC＝90°，而∠DCF＝∠BEC＝90°，所以∠DHC＝∠DCF，而∠HDC＝∠CDF，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△HDC∽△CDF，得＝，所以DF•DH＝DC2，而DH＝DB，DC＝BC，所以DF•DB＝BC2，则DF•DB＝2BC2．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴DC∥BE，
∴△DCF∽△BEF，
∴＝，
∴＝．
（2）联结AC交BD于点H，则AC⊥BD，
∴∠DHC＝90°，
∵CF⊥AB，垂足为E，
∴∠DCF＝∠BEC＝90°，
∴∠DHC＝∠DCF，
∵∠HDC＝∠CDF，
∴△HDC∽△CDF，
∴＝，
∴DF•DH＝DC2，
∵DH＝BH＝DB，DC＝BC，
∴DF•DB＝BC2，
∴DF•DB＝2BC2．
【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中A（2，﹣1）、B（0，3），线段AB与x轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与x轴交于点D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）连接AD、BD、DA，求△ABD的面积；
（3）点P在x轴上且在点D的右侧，如果∠APB＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）证明△ABD为直角三角形，即可求解；
（3）证明△PDB∽△ADP，得到PD2＝AD•BD＝3＝6，即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入y＝﹣x+b得：0＝﹣3+b，则b＝3，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则点D（3，0）；
设直线AB的表达式为：y＝kx+3，
将点A的坐标代入上式得：﹣1＝2k+3，
则k＝﹣2，
则直线AB解析式：y＝﹣2x+3，
令y＝﹣2x+3＝0，则x＝，
故点；
（2）由点A、B、D的坐标得：
，，，
则AB2＝BD2+AD2，则△ABD为直角三角形，
则△ABD的面积＝AD•BD＝×3＝3；
（3）由点B、D的坐标知，∠BDC＝45°＝∠DBP+∠BPD，
而∠BPA＝45°＝∠BPD+∠DPA，
则∠DPA＝∠DBP，
∵∠BDP＝∠ADP＝135°，
∴△PDB∽△ADP，
则PD2＝AD•BD＝3＝6，
则PD＝，
则点P的坐标为：（3+，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中．
25．（14分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，CD⊥AB，E是AC边上的一点，（E与A、C不重合）连接DE，作CF⊥DE，交AB于点F，交DE于点G．
（1）求AD、CD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接EF，当△EFG与△CDG相似时，求CE的长．
【分析】（1）利用特殊角的三角函数可知sinB＝，tanA＝，由此求得线段CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出＝，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的性质探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，
BC＝8，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
sinB＝，
即CD＝×8＝4；
同理tanA＝，
AD＝＝12；
（2）∵∠CDE＝∠BFC＝90°﹣∠DCF，∠ECD＝∠B＝60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴＝，
即，
∴y＝﹣4，
当CE⊥AC时，则∠CED＝90°，
由（1）知，CD＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝2，
∴2≤x＜8
y＝﹣4（2≤x＜8）；
（3）由（1）知，∠EGF＝∠CGD＝90°，
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF＝∠GDC，
∴EF∥DC，
∴＝，
即＝，
解得x＝（舍去负值）；
②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF＝∠GCD＝∠GDF，
∴EF＝DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG＝DG，
∴CD＝CE＝4；
综上，CE＝4或；
【点评】此题考查相似的综合题，综合考查了特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．