2022-2023学年江苏省苏州工业园区星汇学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州工业园区星汇学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州工业园区星汇学校九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）的值等于(    )A.  B.  C.  D. 已知是二次函数图象上的一个点，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，在矩形中，，，若以点为圆心，以为半径作，则下列各点在外的是(    )
 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点如图，在中，，，平分，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，护林员在离树的处测得树顶的仰角为，已知护林员的眼睛离地面的距离为，则树的高度为(    )A.
B.
C.
D.
 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法错误的是(    )
A.  B.
C. 当时， D. 当时，随的增大而增大如图，是的直径，点，在上且位于两侧，，于点，若连接，、的面积分别记为、，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）二次函数的顶点坐标是______．如图，在中，，，，则______．
 抛物线与轴的交点坐标分别是，，则 ______ ．如图，的弦与半径交于点，，，则的度数为______
 用一根长为的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是______写出个可能的值即可二次函数图象的顶点在轴上，则______．已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是______．已知实数、、满足，则实数的最大值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分若二次函数图象经过，两点，求、的值． 本小题分
如图，若二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
求、两点的坐标；
当时，函数值的取值范围为______；直接写出答案即可
若为二次函数图象上一点，求的值．
本小题分
已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图保留作图痕迹，不写作法如图，连接在边上作出一个点使得．
 本小题分
如图，是的直径，点在上，垂足为点，分别交、于点、．
判断的形状．并说明理由；
延长交于点，连接，求证：．
本小题分
图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？参考数据：
 本小题分
某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有个座位，如果票价定为每张元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加元，那么门票就减少张．
当门票收入为元，票价应该定为多少元？
票价定为多少元时门票收入最高？
本小题分
如图，在半径为的中，，点是延长线上一点，点是上一点，交于，且；
连接，求证：；
若，求的长．
本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．当点与点重合时两点都停止移动，时间为．
如图，若时，求时间的值：
如图，连接，作，垂足为点，作的外接圆．
判断点与的位置关系，并说明理由．
连接、，若的面积等于，求的值．
 本小题分
如图，已知点是第一象限内二次函数图象上一点，该二次函数图象与轴交于、两点在点的左侧，与轴交于点，连接．
线段的长为______用含的代数式表示；
当时，点与点关于二次函数图象对称轴对称，若平分，求点的坐标；
若是直角三角形，点是与的交点，则的最小值是多少？直接写出答案即可．
本小题分
我们知道：直角三角形斜边上中线于斜边的一半．爱好数学研究的剑汇同学进一步思考：如图，在中，，斜边上除了中点外还有没有一点，使得？如果存在，我们不妨纰将该线段称为“剑汇线”
命题：任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”，该命题是______命题．填“真”或“假”；
已知在中，，，存在“剑汇线”若．
当时，求的长；
随着的变化，的长也变化，直接写出的变化范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．
 2.【答案】 【解析】解：是二次函数图象上的一个点，
，
，
故选：．
把点代入即可求得的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：连接，
在矩形中，，，
，，
，
，，，
点在上，点在外，点在内．
故选C．
本题主要考查点与圆的位置关系，矩形的性质，以及勾股定理．
根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，，平分，
，，
，
，
故选：．
根据在中，，，平分，可以得到和的度数，从而可以求得的度数．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和角平分性的性质解答．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
．
答：树的高度为．
故选：．
利用的正切值可得的长度，加上即为树的高度．
本题考查解直角三角形的应用，利用的正切值得到的长度是解决本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：二次函数，
当时，，，
点的坐标为，点的坐标为，
，故选项A正确，
当时，，
，
点，，
，
，
，
即，故选项B正确，
当时，，当时，，故选项C错误，
当时，随的增大而增大，故选项D正确，
故选：．
根据题目中的函数解析式和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 8.【答案】 【解析】解：是的直径，
，
在中，
，
设，，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，则利用正切的定义得到，于是可设，，利用勾股定理表示出，接着证明∽，利用相似比得到，，然后根据三角形面积公式计算的值．
本题考查了圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数，
其顶点坐标为，
故答案为：．
根据顶点式的顶点坐标是，找出，即可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，还考查了顶点式的对称轴是直线，顶点坐标为．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
设，，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
先根据正弦的定义得到，则设，，再利用勾股定理得到，所以，解得，然后计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦的定义是解决问题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：抛物线与轴的交点坐标分别是，，
、为方程的两根，
，，
．
故答案为．
根据抛物线与轴的交点问题得到、为方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，然后把通分后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
的内角和是，
，
解得：，
故答案为：．
由，，根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，可得出与的关系，然后由三角形内角和的求得答案．
此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是关键．
 13.【答案】不大于的任意一个正实数均可 【解析】解：设矩形的一边长是，则另一边长是，
则矩形的面积：
，
的取值范围为：；的取值范围为
故答案为：不大于的任意一个正实数均可．
根据已知周长为，假设一边长为，则另一边长为，依据面积长宽，可以求出函数解析式，根据线段应大于即可求得函数自变量的取值范围，从而确定面积的取值范围，从中选择一个值即可．
考查了二次函数的应用，解题的关键是确定二次函数的最值，难度不大．
 14.【答案】 【解析】解：二次函数的顶点纵坐标为：．
二次函数图象的顶点在轴上，
．
解得．
故答案为：．
根据二次函数的图象的顶点在轴上，可知该函数顶点的纵坐标为，即，然后求解即可．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在轴上时，顶点的纵坐标都是．
 15.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，
，
，
实数的最大值为，
故答案为：．
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了偶次方是非负性，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．
 18.【答案】解：把，代入
得：，
解得． 【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．把、两点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可．
 19.【答案】 【解析】解：当时，，解得，，
，；

抛物线的对称轴为直线，
，
当时，函数取得最大值，，
当时，函数取得最小值，，
函数值的取值范围为：，
故答案为：；

把代入得，
解得，，
的值为或．
通过解方程得、的坐标；
当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，进而求解；
把代入得，然后解关于的方程即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
 20.【答案】解：点为所作．
 【解析】作的外接圆交于，则根据圆周角定理得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
 21.【答案】解：是等腰三角形，
理由：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
证明：设与交于点，

，
，
，
，，
，
，
，
，
． 【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据已知易得，从而利用等角的余角相等可得，进而利用等角对等边即可解答；
设与交于点，利用垂径定理可得，从而可得，再根据已知和对顶角相等可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 22.【答案】解：如图，作于点，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
；
如图，作于点，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
；
最高救援高度为，
故该消防车能实施有效救援． 【解析】如图，作于点，易得四边形为矩形，则，，再计算出，则在中利用正弦可计算出，然后计算即可；
如图，作于点，易得四边形为矩形，则，，再计算出，则在中利用正弦可计算出，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
 23.【答案】解：设票价应定为元，依题意有：
，
，
解得：．
答：票价应定元．

，

，
即票价定为元时，门票收入最多，最多收入是元． 【解析】可设票价应定为元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程解题；
根据题意得出与的函数关系式，进而求出最值即可．
此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
 24.【答案】证明：如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，

，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
的长为． 【解析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，，然后结合对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理求出，最后证明字模型相似三角形可得∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 25.【答案】解：，，
，，
，
，
解得或；
以点为原点，所在是直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，
过点作交于点，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
是的外接圆，，
的中点为圆的圆心，
，，
，，
，
，
点在圆上；
，，，
，
的面积等于，
，
解得或舍． 【解析】根据题意得到，，再由，求出的值即可；
以点为原点，所在是直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，过点作交于点，过点作交于点，利用等积法求出的长，再由直角三角形的三角函数值求出，求出圆的圆心及的长，得到，即可判断出点在圆上；
由，求出的值即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握点与圆的位置关系，矩形的性质，等积法求三角形的高，割补法求三角形的面积是解题的关键．
 26.【答案】 【解析】解：令，则，
，，
，
故答案为：；
当时，，
抛物线的对称轴为直线，
令，则，
，
点与点关于二次函数图象对称轴对称，
，
令，则，
解得或，
，，
，
，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点关于的对称点，
，
平分，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得舍或，
；
令，则，
，
令，则，
解得或，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
设，
，，
，，
，
，
当最大时，有最小值，
，
当时，有最大值，
的最小值是．
利用根与系数的关系求解即可；
先求出，可得，再由和是等腰直角三角形，确定点的坐标，利用点的坐标求出点关于的对称点的坐标，直线与抛物线的交点即为点；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，则，，由，，当最大时，有最小值，再由，当时，有最大值，即可求的最小值是．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，角平分线的定义是解题的关键．
 27.【答案】假 【解析】解：是假命题．比如等腰直角三角形不存在“剑汇线”．
故答案为：假；

如图中，过点作于点．

，，
，
设，
，，
，
，
，
，
或负根舍去，
．

如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形，

，
，
．
如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形，

，
综上所述，．
是假命题，举反例说明即可；
设，根据，构建方程求解即可；
求出两种特殊位置的最大值与最小值，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．