2023-2024学年江苏省苏州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省苏州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是(    )
A. ax2+bx+c=0 B. x2−y+1=0 C. x2=0 D. 1x2+x=2
2.已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是(    )
A. 12 B. 13 C. 12或13 D. 15
3.下列对二次函数y=−(x+1)2−3的图象描述不正确的是(    )
A. 开口向下 B. 顶点坐标为(−1,−3)
C. 与y轴相交于点(0,−3) D. 当x>1时，函数值y随x的增大而减小
4.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+b(a,b都不为0)的图象的相对位置可以是(    )
A. B.
C. D.
5.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为(    )


A. 40米 B. 30米 C. 25米 D. 20米
6.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m−1,1+m,−2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是(−1,−8)；②当m>1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m12时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n满足2m−3n2+9=0则点P到原点O的距离的最小值为(    )
A. 35 10 B. 125 C. 65 3 D. 45 5
8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是(    )



A. 4，−1
B. 5− 172，−1
C. 4，0
D. 5+ 172，−1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
10.将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”.已知：x2+x−1=0，且x>0.则x4−2x3+3x的值为______．
11.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______．


12.若二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx−5=2x−13的解为______．
13.直线l1：y=kx+2与y轴交于点A，直线l1绕点A逆时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y=x2+3x+2有唯一的公共点，则k=______．
14.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=−112x2+23x+53，则这名男生抛实心球的成绩是______m.
15.已知函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为______．
16.已知抛物线y=−x2+5x−6，在1≤x≤5之间的部分记为图象T1，将图象T1沿直线x=1对折得到图象T2，图象T1和T2合成图象T.若过y轴上的点M(0,m)且与y轴垂直的直线l与图象T有且只有两个公共点，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题6.0分)
解方程：
(1)2x2+4x−1=0；
(2)2x(x−1)=2x−1．
18.(本小题8.0分)
解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程(x2−3)2−5(3−x2)+2=0，
如果设x2−3=y，∵x2−3=y，∴3−x2=−y，用y表示x后代入(x2−3)2−5(3−x2)+2=0得：y2+5y+2=0．
应用：请用换元法解下列各题：
(1)已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值；
(2)解方程：x2+1x2+x+1x=0；
(3)已知a2+ab−b2=0(ab≠0)，求ab的值．
19.(本小题6.0分)
关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20.(本小题6.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0)．

(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
(2)点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，若x13，所以当m>1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
③当m12时，y随x的增大而减小，此结论正确，
④当x=1时，y=(m−1)x2+(1+m)x−2m=0即对任意m，函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当x=−2时，y=(m−1)x2+(1+m)x−2m=−6，即对任意m，函数图象都经过一个点(−2,−6)，此结论正确．
根据上面的分析，①②③④是正确的．
故选：D．
7.【答案】B 
【解析】解：OP= m2+(2n2−10)2．
由2m−3n2+9=0，得n2=2m+93，将其代入上式，得
OP= m2+4(2m+93−5)2，经整理
OP= 259(m−4825)2+16−(4815)2≥ 16−(4815)2=125．
故选：B．
点P到原点O的距离OP= m2+(2n2−10)2，利用2m−3n2+9=0，解出n2，代入 m2+(2n2−10)2中，逐步整理，最后将被开方数配方，根据二次函数求最值的方法进行求解即可．
本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性．
8.【答案】D 
【解析】【分析】
本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动，跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】
解：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x−m)2−m的顶点(m,−m)在直线y=−x上运动，

在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，
∴B(2,2)，
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y=(x−m)2−m经过点A(0,2)时，m=2或m=−1；
当互异二次函数y=(x−m)2−m经过点B(2,2)时，m=5− 172或m=5+ 172．
∴互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+ 172，−1．
故选：D．
9.【答案】20 
【解析】解：令菱形的对角线分别为：x1，x2，
∵一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，
∴x1+x2=14，x1x2=48，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为： (x12)2+(x22)2
= x12+x224
= (x1+x2)2−2x1x24
= 142−2×484
= 196−964
=5，
则菱形的周长为：4×5=20．
故答案为：20．
令菱形的对角线分别为：x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=14，x1x2=48，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
10.【答案】6−2 5 
【解析】解：∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1，x2=1−x．
∴x4−2x3+3x
=x4+x3−3x3+3x
=x2(x2+x)−3x⋅x2+3x
=x2−3x(1−x)+3x
=1−x−3x+3x2+3x
=1−x−3x+3(1−x)+3x
=1−x−3x+3−3x+3x
=4−4x．
∵方程x2+x−1=0，且x>0的解为：x=−1+ 52．
∴原式=4−4⋅−1+ 52
=4−2(−1+ 5)
=4+2−2 5
=6−2 5．
故答案为：6−2 5．
先求得x2=−x+1，再代入x4−2x3+3x得到原式=4−4x，然后解方程x2−x+1=0求出x，再代入求值即可．
本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键．
11.【答案】y=−0.04x2+1.6x 
【解析】解：设解析式是：y=a(x−20)2+16，
根据题意得：400a+16=0，
解得a=−0.04．
∴函数关系式y=−0.04(x−20)2+16，
即y=−0.04x2+1.6x．
故答案为：y=−0.04x2+1.6x．
根据图象得到：顶点坐标是(20,16)，因而可以利用顶点式求解析式．
利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
12.【答案】x1=2，x2=4 
【解析】解：∵二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，
∴−b2=2，
解得b=−4，
则x2+bx−5=2x−13可化为x2−4x−5=2x−13，
即x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4．
故答案为x1=2，x2=4．
本题主要考查二次函数与一元二次方程．
根据对称轴求得b，再解一元二次方程即可得解．
13.【答案】1或12． 
【解析】解：由y=kx+2，y=x2+3x+2可得直线l2与抛物线交于点A(0,2)，
①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴夹角为45°，如图，

∵OB=2，∠ABO=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴点B坐标为(−2,0)，
将(−2,0)代入y=kx+2得0=−2k+2，
解得k=1．
②设直线l2解析式为y=mx+2，
令mx+2=x2+3x+2，
Δ=(3−m)2，
当m=3时满足题意．
∴y=3x+2，
把y=0代入y=3x+2得x=−23，
∴直线l2与x轴交点D坐标为(−23,0)，即OD=23，
作DE⊥AD交直线y=kx+2于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，

∵∠EAD=45°，
∴AD=DE，
∵∠ADO+∠EDF=90°，∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠EDF，
又∵∠EFD=∠AOD=90°，
在△EFD和△DOA中，
AD=DE∠DAO=∠EDF∠AOD=∠EFD
∴△EFD≌△DOA(AAS)，
∴FD=AO=2，EF=DO=23，
∴OF=FD+AO=83，
∴点E坐标为(−83,23).
将(−83,23)代入y=kx+2得23=−83k+2，
解得k=12．
故答案为：1或12．
根据直线解析式可得l1，l2都经过点(0,2)，分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y=kx+2上的点坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
14.【答案】10 
【解析】解：∵一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=−112x2+23x+53，
∴当y=0，则0=−112x2+23x+53，
解得：x1=10，x2=−2，
∴这名男生抛实心球的成绩为10m，
故答案为：10．
首先使y=0，进而得出求出该男生掷实心球的距离，于是得到这名男生抛实心球的成绩．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出该男生掷实心球距离是解题关键．
15.【答案】1，2或−2 
【解析】解：∵函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，
∴当a−1=0时，得a=1，此时y=−2x+1与两坐标轴两个交点，
当a−1≠0时，则a+2≠0(−2a)2−4(a−1)(a+2)=0或a+2=0(−2a)2−4(a−1)(a+2)>0，
解得，a=2或a=−2，
由上可得，a的值是1，2或−2，
故答案为：1，2或−2．
根据函数y=(a−1)x2−2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
16.【答案】m=14或−6≤m