2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. y2+x=1C. x2+1=0D. 1x+x2=1
2.一元二次方程(x−2)2=9的两个根分别是( )
A. x1=1，x2=−5B. x1=−1，x2=−5
C. x1=1，x2=5D. x1=−1，x2=5
3.▵ABC中，∠C=90∘，且c=3b，则csA=．( )
A. 23B. 2 23C. 13D. 103
4.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，则另一个根为( )
A. −2B. 2C. 4D. −3
5.对于任意实数k，关于x的方程x2−2k+1x−k2+2k−1=0的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
6.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
( )
A. k>−1B. k−1且k≠0
7.如果一元二次方程x2+(m+1)x+m=0的两个根是互为相反数，那么有( )
A. m=0B. m=−1C. m=1D. 以上结论都不对
8.如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC=( )
A. 13B. 14C. 15D. 55
9.设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式1a+1b的值为
( )
A. 5B. 3C. 9D. 11
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
10.将方程(x−1)2=6化成一元二次方程的一般形式，得 ．
11.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则tanB的值为 ．
12.关于x的方程2x+52=m+1无实数解，则m的取值范围 ．
13.已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则1a+1b的值是
14.已知a、b是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则代数式a−ba+b−2+ab的值等于 ．
15.在△ABC中，(tanA− 3)2+| 22−csB|=0，则∠C= ．
16.已知l1//l2//l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角▵ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是 ．
17.已知m，n是方程x2−x−2016=0的两个实数根，则m2+n的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)32x−12=27
(2)2x2−4x+1=0
19.(本小题8分)
计算：
(1)tan30∘+2sin60∘⋅cs45∘；
(2)3tan245∘− 3sin60∘−2tan30∘．
20.(本小题8分)
由下列条件解直角三角形：在Rt▵ABC中，∠C=90∘；
(1)已知a+c=12，∠B=60∘
(2)b+c=30，∠A−∠B=30∘．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2−15，求k的值．
22.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，BC= 6+ 2，∠C=45∘，AB= 2AC，求AC的长．
23.(本小题8分)
随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
(1)求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
(2)若2022年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2023年春节该小区停放新能源汽车的数量．
24.(本小题8分)
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2−3mx+3=0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
25.(本小题8分)
某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
(2)如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
26.(本小题8分)
综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程：x2+x=0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x−6=0； ②2x2−2 5x+2=0．
(2)已知关于x的一元二次方程x2−(m−2)x−2m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
27.(本小题8分)
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60∘时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60∘调节为54∘，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54∘≈0.8,cs54∘≈0.6)
28.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，
(1)当x为何值时，点P，N重合；
(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【详解】(x−2)2=9，
两边直接开平方得：x−2=±3，
则x−2=3，x−2=−3，
解得：x1=−1，x2=5．
故选D．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
3.【答案】C
【解析】【分析】直接利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】在Rt▵ABC中，∠C=90∘，且c=3b，
∴csA=bc=b3b=13，
故选：C．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义及运用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【详解】设一元二次方程的另一根为x1，
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，
∴−1+x1=−3，
解得：x1=−2．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号即可：
∵a=1，b=−2k+1，c=−k2+2k−1，
∴Δ=b2−4ac=−2k+12−4×1×−k2+2k−1=8+8k2>0．
∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(−2)2−4k⋅(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且△=(−2)2−4k⋅(−1)>0，
解得k>−1且k≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△