江苏省苏州工业园区星汇学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省苏州工业园区星汇学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州工业园区星汇学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2分）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2分）+2的整数部分是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2+BC2的值是（　　）

A．10 B．34 C．25 D．41
5．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：5
6．（2分）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
7．（2分）如图，AB＝AC＝AD，E，F分别为BC，CD的中点，若∠EAF＝40°，则∠BAD的度数为（　　）

A．80° B．100 C．90° D．75°
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（　　）

A．3 B．3 C．4 D．5
9．（2分）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　）

A．12 B．30 C．27 D．32
10．（2分）在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目 （　　）
知识回顾
知识延伸


已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，
通过证明OD＝OE＝OF
可得点O在∠A的角平分线上．


已知点P为△NMK两外角角平分线的交点，
若∠NPK＝50°，则∠PMK＝（　　）


A．50° B．55° C．45° D．40°
二、填空题（本题有8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）＝　 　．
12．（2分）比较大小：π﹣3 　 　0.14．
13．（2分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为 　 　cm．
14．（2分）葛滕是一种多年生草本植物，为获得出多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高9cm时，这段葛藤的长是 　 　cm．

15．（2分）如图，在△ABC中，直线EF、MN分别为AB、AC的垂直平分线，交BC于点F、N，若BF＝4，FN＝3，CN＝5，则S△ABC＝　 　．

16．（2分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为 　 　．

17．（2分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为 　 　．

18．（2分）如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共64分，解答时需要写出必要的文字说明、演华步骤或证明过程）
19．（6分）计算：+（）﹣1﹣32；
﹣|2﹣|+（2021﹣π）0．
20．（6分）已知+＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E两点，CD＝BE．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AC＝5，CE＝4，求BC的长．

22．（6分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：BD＝AB．

23．（6分）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　 　，　 　；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
24．（8分）如图，以△ABC一边为直角边构造Rt△ACD，且DC＝5，AB＝2，BC＝，∠D＝45°．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）若点P为AC上一动点，连接BP，DP，求BP+DP最小值．

25．（8分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．

26．（8分）如图，长方形ABCD沿直线EF翻折，使点C落在点C′处，点B落在点B′处．
（1）如图1，当延长FC'恰好经过点A时，C′B′交AB于点H，连接C'E．已知H为C′B′中点．
①求证：△AHC'≌△EHB'．
②若HB＝11，BC＝2．求AF的长．
（2）如图2，当C'与点A重合时，作AO⊥EF，若＝，求的比值．


27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA；
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．


2022-2023学年江苏省苏州工业园区星汇学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2分）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（2分）+2的整数部分是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平方运算估算出的值，即可解答．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
4．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2+BC2的值是（　　）

A．10 B．34 C．25 D．41
【分析】根据勾股定理直接解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2＝52＝25．
故选：C．
【点评】此题考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，故△ABC不是直角三角形；
C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；
D、∵a：b：c＝3：4：5，∴可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6．（2分）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【分析】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，然后整体代入计算即可．
【解答】解：m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，
原式＝＝＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
7．（2分）如图，AB＝AC＝AD，E，F分别为BC，CD的中点，若∠EAF＝40°，则∠BAD的度数为（　　）

A．80° B．100 C．90° D．75°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝40°，
∴∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠BAE+∠DAF＝∠CAE+∠CAF＝∠EAF＝40°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠EAF＝40°+40°＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的知识点．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（　　）

A．3 B．3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠CAD＝4∠B，
∴∠CAB＝5∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
∴AC＝AD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（2分）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　）

A．12 B．30 C．27 D．32
【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，
∴DF＝CF＝AB＝×26＝13，
∴△CDF是等腰三角形．
∵点E是CD的中点，CD＝24，
∴EF⊥CD，DE＝CD＝12．
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5，
∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．（2分）在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目 （　　）
知识回顾
知识延伸


已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，
通过证明OD＝OE＝OF
可得点O在∠A的角平分线上．


已知点P为△NMK两外角角平分线的交点，
若∠NPK＝50°，则∠PMK＝（　　）


A．50° B．55° C．45° D．40°
【分析】过点P作PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，PQ⊥NK于点Q，根据角平分线的性质定理证得PE＝PQ＝PF，从而判定MP平分∠NMK，再根据∠NPK的度数求出∠EPF的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠NMK的度数即可解决．
【解答】解：过点P作PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，PQ⊥NK于点Q，

∵点P为△NMK两外角角平分线的交点，
∴PE＝PQ＝PF，
∴MP平分∠NMK，
∵PE⊥MN于点E，PQ⊥NK于点Q，
∴∠PEN＝∠PQN＝90°，
∵PN平分∠ENK，
∴∠ENP＝∠QNP，
∴∠EPN＝∠QPN，
同理，∠FPK＝∠QPK，
∴∠NPK＝∠EPF，
∵∠NPK＝50°，
∴∠EPF＝100°，
∵PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，
∴∠PEN＝∠PFK＝90°，
∴∠NMK＝80°，
∴∠PMK＝∠NMK＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用．
二、填空题（本题有8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）＝　2　．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12．（2分）比较大小：π﹣3 　＞　0.14．
【分析】根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：π﹣3＞0.14．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13．（2分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为 　23或19　cm．
【分析】分9cm是腰长与底边长两种情况，再结合三角形的三边关系讨论求解．
【解答】解：①若9cm是腰长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，
5+9＞9，能组成三角形，
周长＝9+9+5＝23（cm），
②若9cm是底边长，则三角形的三边分别为9cm、5cm、5cm，
5+5＞9，能组成三角形，
周长＝9+5+5＝19（cm）．
综上所述，三角形的周长为23或19cm．
故答案为：23或19．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．
14．（2分）葛滕是一种多年生草本植物，为获得出多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高9cm时，这段葛藤的长是 　15　cm．

【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示：由题意可得，展开图中AB＝12cm，BC＝9cm，
则在Rt△ABC中，AC＝＝＝15（cm）．
这段葛藤的长是15cm．
故答案为：15．

【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，直线EF、MN分别为AB、AC的垂直平分线，交BC于点F、N，若BF＝4，FN＝3，CN＝5，则S△ABC＝　24　．

【分析】由线段垂直平分线的性质得到AF＝BF＝4，AN＝CN＝5，由勾股定理的逆定理证得AF⊥BC，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：∵直线EF、MN分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AF＝BF＝4，AN＝CN＝5，
∵FN＝3，
∴BC＝BF＝FN+CN＝12，AF2+FN2＝42+32＝52＝AN2，
∴∠AFN＝90°，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AF＝×12×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理证得AF⊥BC是解决问题的关键．
16．（2分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为 　2　．

【分析】由勾股定理可求AC，BC，AB的长，由勾股定理的逆定理可证∠ACB＝90°，由面积法可求解．
【解答】解：由题意可得：AC＝＝，BC＝＝2，AB＝＝5，
∵AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝×AB•CD＝×AC•BC，
∴×2＝5×CD，
∴CD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明∠ACB＝90°是解题的关键．
17．（2分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为 　53　．

【分析】根据全等三角形的性质可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根据四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积，列出算式计算即可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，
∴四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积＝×9×9+×5×5＝53．
故答案为：53．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由图形得到四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积．
18．（2分）如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为 　16　．

【分析】由题意可得AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，即可证明△AFG≌△CIJ，FG＝IJ，再根据四边形EFHI为正方形，得到△GHK≌△JEK，从而得到点K为正方形EFHI的中心，过点K作KM⊥FH于点M，由勾股定理得DE＝4，FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，最后用a，b表示出S1+S2＝2（a+b），将a+b的值代入即可求解．
【解答】解：由题意可得，
AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，
∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，
∵FH∥EI，
∴∠HGK＝∠KJE，
∴∠AGF＝∠IJC，
在△AFG和△CIJ中，
，
∴△AFG≌△CIJ（AAS），
∴FG＝IJ，
∵四边形EFHI为正方形，
∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，
在△GHK和△JEK中，
，
∴△GHK≌△JEK（AAS），
∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，
如图，过点K作KM⊥FH于点M，

∵AE＝12，CD＝4，
∴BF＝12，AD＝，
在Rt△ADE中，
由勾股定理得DE＝＝4，
∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，
则FH＝8，KM＝4，
设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，
∴＝，
＝＝2b，
∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．
三、解答题（本题有8小题，共64分，解答时需要写出必要的文字说明、演华步骤或证明过程）
19．（6分）计算：+（）﹣1﹣32；
﹣|2﹣|+（2021﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：+（）﹣1﹣32
＝2+3﹣9
＝﹣4；

﹣|2﹣|+（2021﹣π）0
＝2﹣（2﹣）+1
＝2﹣2++1
＝3﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）已知+＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝17；
（2）b+8＝0，
解得：b＝﹣8．
则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则平方根是：±15．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E两点，CD＝BE．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AC＝5，CE＝4，求BC的长．

【分析】（1）证Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），得∠EBC＝∠DCB，则AB＝AC，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AE＝3，则BE＝AB﹣AE＝2，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠CEB＝∠CEA＝∠BDC＝90°，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），
∴∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
∴BC＝＝＝2，
即BC的长为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
22．（6分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：BD＝AB．

【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC＝AB，再求出∠BCD＝30°，再次利用性质解答即可得证．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵CD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC，
∴BD＝AB．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，两次利用性质是解题的关键．
23．（6分）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　6，8，10　，　5，12，13　；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
【分析】（1）根据常见勾股数解答即可．
（2）先求出x2，y2，z2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；
故答案为：6，8，10；5，12，13；
（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，
∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，
∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，
∴x、y、z是一组勾股数．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．
24．（8分）如图，以△ABC一边为直角边构造Rt△ACD，且DC＝5，AB＝2，BC＝，∠D＝45°．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）若点P为AC上一动点，连接BP，DP，求BP+DP最小值．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明便可；
（2）延长DC至M，使得DC＝CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，则BN＝AC＝5，AB＝CN＝2，CM＝DC＝5，PM＝PD，所以BP+DP＝BP+PM≥BM，当B、P、M三点共线时，BP+PM取最小值为BP+PM＝BM，求出此时的BM便可．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝90°，∠ADC＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ADC，
∴AC＝CD＝5，
∵AB＝2，BC＝，
∴AB2+AC2＝29＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：延长DC至M，使得DC＝CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，如图，

则CM＝DC＝5，PM＝PD，
∵∠BAC＝∠ACN＝∠BNC＝90°，
∴四边形ABNC是矩形，
∴BN＝AC＝5，AB＝CN＝2，
∴BM＝，
∵BP+DP＝BP+PM≥BM，
当B、P、M三点共线时，BP+PM取最小值为BP+PM＝BM＝，
∴BP+DP最小值为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，关键是确定BP+DP的最小是BM．
25．（8分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．

【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．得AB＝AD＝CD，∠B＝∠ADB＝64°，从而求得∠C＝∠CAD＝∠ADB＝32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2＝32﹣x2，Rt△ACE中，AE2＝52﹣（3+x）2，得32﹣x2＝52﹣（3+x）2，解方程即可．
【解答】解：（1）线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；

（2）证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
∴AB＝AD＝CD，
∴∠B＝∠ADB＝64°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AD＝CD＝3，
∴BE＝DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2＝32﹣x2，
Rt△ACE中，AE2＝52﹣（3+x）2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，
解得，x＝，
∴BC＝×2+3＝．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
26．（8分）如图，长方形ABCD沿直线EF翻折，使点C落在点C′处，点B落在点B′处．
（1）如图1，当延长FC'恰好经过点A时，C′B′交AB于点H，连接C'E．已知H为C′B′中点．
①求证：△AHC'≌△EHB'．
②若HB＝11，BC＝2．求AF的长．
（2）如图2，当C'与点A重合时，作AO⊥EF，若＝，求的比值．


【分析】（1）①根据AAS证明三角形全等即可；
②设BE＝EB′＝x，在Rt△EHB′中，利用勾股定理构建方程求出x，设CF＝FC′＝y，再在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求出y，可得结论；
（2）可以假设AD＝3k，CF＝5k，则DF＝4k．想办法用k表示出OF，AO，可得结论．
【解答】（1）①证明：∵AC′∥EB′，
∴∠HAC′＝∠HEB′，
∵H是B′C′的中点，
∴HC′＝HB′，
在△AHC′和△EHB′中，
，
∴△AHC′≌△EHB′（AAS）；

②解：由翻折变换的性质可知BC＝B′C′＝2，BE＝EB′，∠B＝∠B′＝90°，
设BE＝EB′＝x，
∵HB′＝HC′＝，EH＝11﹣x，
∴（11﹣x）2＝x2+（）2，
∴x＝5，
∴AH＝EH＝6，AC′＝EB′＝EB＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BC＝2，AB＝CD＝17，
设CF＝FC′＝y，则有（y+5）2＝（2）2+（17﹣y）2，
∴y＝7，
∴AF＝AC′+FC′＝12；

（2）解：如图2中，过点F作FH⊥AB于点H．

∵AD：CF＝3：5，
∴可以假设AD＝3k，CF＝5k，则DF＝4k．
∵∠D＝∠DAH＝∠FHA＝90°，
∴四边形ADFH是矩形，
∴DF＝AH＝4k，FH＝AD＝3k，
由翻折变换的性质可知∠CFE＝∠EFA，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AH＝5k，
∴EH＝AE﹣AH＝5k﹣4k＝k，
∴EF＝＝＝k，
∵AO⊥EF，
∴OF＝OE＝，
∵•AE•FH＝•EF•AO，
∴AO＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA；
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

【分析】（1）由点B关于直线CD的对称点为E，得BC＝CE，再根据AC＝BC，可知CA＝CE，从而证明结论；
（2）根据等边对等角得∠CAE＝∠CEA，∠CBE＝∠CEB，则∠CEB+∠AEC＝（360°﹣90°）÷2＝135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案；
（3）当AD＝AC，则∠ADC＝67.5°，得∠BCD＝22.5°，由轴对称的性质得∠ECD＝∠DCB＝22.5°，从而∠ACE＝∠ACB﹣∠ECD﹣∠DCB＝45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可．
【解答】（1）证明：∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE＝∠CEA；
（2）解：∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE＝CB＝CA，
∴∠CAE＝∠CEA，∠CBE＝∠CEB，
∴∠CEB+∠AEC＝（360°﹣90°）÷2＝135°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠AFC＝45°；
（3）解：相等，证明如下：
由（1）知，AD＝AC＝CE，
∵AC＝CD，
∴∠ADC＝67.5°，
又∵∠ADC＝∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB＝22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECD﹣∠DCB＝45°，
在△AEC与△ADC中，
，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE＝CD．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△AEC≌△ADC是解题的关键．