第24章解直角三角形【真题训练】- 九年级数学上册单元复习（华师大版）

第24章   解直角三角形 【真题训练】

考生须知：

1．     本试卷满分120分，考试时间为120分钟.

2．     答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.

3．     请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.

4．     选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

5．     保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.

一、选择题(共10小题，每小题3分.共30分）

下列各题中均有四个备选答案﹐其中有且只有一个是正确的.

1．（2019·山东滨州·初三期末）在中，，若，则的值为(   )

A． B． C． D．

【答案】C

2．（2019·洛阳市实验中学月考）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为(　　)

A．( ,1) B．(1, ) C．( +1,1) D．(1,+1)

【答案】C

3．（2019·全国）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

4．（2018·全国初三单元测试）如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

5．（2020·长春市新朝阳实验学校月考）如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

6．（2020·广西平桂·初三期末）如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的角为45°如果梯子底端O固定不变,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为(      )

A．(+1 ) m B．(+3 ) m C．( ) m D．(+1 ) m

【答案】A

7．（2020·福建泉州外国语学校初三其他）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（    ）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米

【答案】B

8．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学月考）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（　　）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．锐角三角形

【答案】B

10．（2020·云南昆明三中一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（　　）

A．18 B．25 C．32 D．36

【答案】D

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11．（2020·安徽合肥·月考）在中，，点是斜边上一点，过点作，垂足为，交边（或边）于点，设，当的面积为时，的值为 _________．

【答案】或14

12．（2020·宁夏吴忠·期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等于_____．

【答案】4

13．（2020·浙江余姚·其他）如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为____米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．

【答案】19.2

14．（2020·郑州一中国际航空港实验学校三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为_____．

【答案】2或4＋．

15．（2020·浙江台州·月考）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：

问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

   【答案】

16．（2020·四川乐山·期末）如图，边长为3的正方形绕点按顺时针方向旋转后，得到正方形，交于点，则__________．

【答案】

三、解答题(共8题，共72分)

17．（2020·佛山市三水区三水中学附属初中三模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．

（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；

（2）求△OCD的面积．

解：（1）∵OB=4，OE=2，

∴BE=2+4=6，

∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，

∴OA=2，CE=3，

∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3），

∵一次函数y＝ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，

∴，

解得，

故直线AB的解析式为y＝x+2，

∵反比例函数y＝的图象过点C，

∴，

∴k＝﹣6，

∴该反比例函数的解析式为；

（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得：

，解得：，

可得交点D的坐标为（6，﹣1），

则△BOD的面积为4×1÷2=2，

△BOC的面积为4×3÷2=6，

故△OCD的面积为2+6=8．

18．（2020·佛山市三水区三水中学附属初中三模）

计算：4sin45°++（π﹣2020）0﹣（﹣1）3．

解：原式=4×++1+1

=++2

=．

19．（2020·郑州一中国际航空港实验学校三模）在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE，通过测量，斜坡CE的坡角为30°，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°，斜坡CE的长度为60m，坡顶C与小山的距离BC＝100m，求小山AF的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：cos53°≈0.6，sin53°≈0.8，tan53°≈1.33，≈1.73）

【解】如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，

则四边形BCHP、四边形PFGH为矩形，PH∥DQ，

∴BC＝PH＝100，BP＝CH，PF＝GH，BF＝CG，∠AHP＝∠HDQ＝53°，

∵tan∠AHP＝＝tan53°≈1.33，

∴AP＝1.33PH＝133，

过点D作DQ⊥GH于点Q，则DQ∥EG，

∴∠CDQ＝∠CEG＝30°，

∵D是CE的中点，CE＝60，

∴CD＝CE＝30，CG＝CE＝30，

∴CQ＝CD＝15，DQ＝CQ＝15，

∵tan∠HDQ＝＝tan53°≈1.33，

∵QH≈1.33DQ＝1.33×15≈34.51，

∴CH＝QH﹣CQ＝34.51﹣15＝19.51，

∴AF＝AP+PF＝AP+GH＝AP+CH+CG＝133+19.51+30≈182.5（m），

即小山AF的高度约为182.5m．

故答案为182.5m．

20．（2020·中卫市宣和中学月考）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．

解：过D作DE⊥AC于E，

∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1，

∴DE=BD=1，

∵∠B=90°，AB=BC，

∴∠C=∠BAC=45°，

在Rt△DEC中，sin45°=，

∴DC=．

21．（2020·河南一模）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征.某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆高度的活动.如图，他们在地面处竖直放置标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得，，在同一水平线上.该小组在标杆的处通过平面镜恰好观测到旗杆顶点（此时），在处分别测得旗杆顶点的仰角为、平面镜的俯角为，米，问旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）

（参考数据：，，）

解：过点作于，则，

设米，则米，

∴，

在中

∴

即

∴

即：米

答：旗杆的高度约为14米．

22．（2020·河南一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会．其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为30°，此时，两人的水平距离EC为38m．已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．(结果保留整数．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73)

解：如图，过D作DF⊥AB于F，

则BF＝ED＝10，DF＝BE，

设AB＝x，则AF＝x﹣10，

在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，

∴DF＝，

∴CB＝BE﹣EC＝DF﹣EC＝（x﹣10）﹣38，

在Rt△ACB中，∠ACB＝53°，tan53°＝，

∴，解得：x≈56，

答：钟楼AB的高度约为56m．

23．（2020·恩施市白果乡初级中学其他）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，≈1.4，≈1.7）

【解】（1）由已知得，

在Rt△APE中，

∵，

∴，

答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，

∴∠BAF＝∠AEP＝18°，

在Rt△ABF中，

AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，

BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，

∵BF∥CD，

∴∠CBF＝∠BCD＝30°，

∴，

∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．

答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．

24．（2020·江西一模）（1）方法导引：

问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．

讨论：

①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．

②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．

③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．

老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．

（2）应用方法：

①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．

②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．

③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．

解：（1）连接、

∵是等边三角形，

∴

∵是和的角平分线交点

∴

∴，

∴

∴

∴的面积与四边形的面积相等

过点作于点

∵，

∴

∵，

∴，

∴

∴四边形的面积为．

故答案为：．

（2）①∵是等边三角形，

∴

∵于点，

∴

∵，

∴，，

∴的面积

②过点作于，于．

由①得：，同理：

∵是等边三角形，

∴

∵，

∴

∴，

∴

∴，

∴

∴

③

过点作交的延长线于，于．

∵，

∴

∴，

∵

∴，

∴

∴

∵，，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴

∴