华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试单元测试随堂练习题

这是一份华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试单元测试随堂练习题，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

华师大版初中数学九年级上册第24章《解直角三角形》单元测试卷
考试范围：第24章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(    )
A. 200cm2 B. 170cm2 C. 150cm2 D. 100cm2
2. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是(    )

A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50 cm2 D. 60 cm2
3. 如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为(    )


A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037
4. 在▱ABCD中，AB=1、AD=2、∠B<90°，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、DG、EF、FG，则下列结论错误的是(    )
A. CE⊥FG B. CF⊥DG
C. EF=CF D. ∠DFC=∠AFG
5. 如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC=6，AC=8.E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为(    )


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为(    )


A. 13 B. 522 C. 412 D. 4
7. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交CD于点P.若AE=3EF=3，则DP的长为(    )
A. 207
B. 209
C. 3
D. 157
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内一点，GE=GF且∠EGF=90∘．

 ①点E为AB中点时，∠AEG=75∘
 ②点G到AB，BC的距离一定相等
 ③点G到AB边的距离最大为42
 ④点G到AB边的距离可能为3
则以上说法正确的个数是(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD−DE−EB运动到点B时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/s.若P,Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，ΔBPQ的面积为y(cm2).已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是

A. AE=8cm
B. sin∠EBC=35
C. 当10≤t≤12时，y=−310t2+6t
D. 当t=12s时，ΔPBQ是等腰三角形
10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG //CF；④S△EGC=6；⑤∠AGB+∠AED=145°．
其中正确的个数是(    )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
11. 在下图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．(    )
A. 23
B. 32
C. 35
D. 53
12. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=12；⑤S△ABF：S四边形BCDF=1：4.其中正确结论的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD=AC=3米，CD=3.6米．

(1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG=______米．
(2)投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1，则点G的上升高度为______米．
14. 如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，CD=m，AB=2m，则∠AEB=______．


15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是____．

16. 如图，在正方形ABCD中，点E，点F，点G分别在边AD上，边CD上，边AB上，将正方形纸片沿FG折叠，使点C与点E重合，连接EG，EF，FG，CG.若sin∠AGF=31010，DE+AB=12，下列结论：①△EGF≌△CGF；②四边形EGCF是菱形；③DE=3；④△AEG的周长是12+85；⑤cos∠EGF=53434.其中正确的是______(只填写序号)．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，一位同学想利用树影测量树(AB)的高度，他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米，此时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上(有一部分影子落在了墙上CD处)，他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米，又测得地面部分的影长(BD)为2.7米，则他测得的树高应为多少米？

18. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．

19. 阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1)．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3)，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米(如图4).身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
(1)在横线上直接填写甲树的高度为______米．
(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
(3)请选择丙树的高度为______
A.6.5米B.5.75米C.6.05米D.7.25米
(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看．
20. 已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系____；
(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
(3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
21. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE．
(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由．
(2)若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积．
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．

22. 李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF//GH，直角三角板ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．
(1)如图，求∠ECB的度数；

(2)如图，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O.在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；

(3)如图，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间(不含EF，GH上)，点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q.设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB.若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

23. 矩形AOBC中，OB=4，OA=3.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点(不与B，C重合)，过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E．

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF，求∠EFC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−4ax+3a(a<0)与x轴分别交于A、B两点，且点A在点B的左侧．
(1)求出点A、B的坐标．
(2)记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使得∠DOA=45∘?若存在，请直接写出点D的坐标;若不存在，请说明理由．
25. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3.一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒(t≥0)．

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
设AF=x，则AC=3x，利用正方形的性质得EF=CF=2x，EF//BC，再证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到BC=6x，所以AB=35x，则35x=30，解得x=25，然后用△ABC的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．
【解答】
解：设AF=x，则AC=3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF=CF=2x，EF//BC，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC=6x，
在Rt△ABC中，AB=(3x)2+(6x)2=35x，
∴35x=30，解得x=25，
∴AC=65，BC=125，
∴剩余部分的面积=12×65×125−(45)2=100(cm2).
故选：D．  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点.标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ADF，然后求出△ADF和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出DFBE=53，即DEEB=53，设BE=3acm，表示出DE=5acm，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图

∵正方形的边DF//CB
∴∠B=∠ADF
∵∠AFD=∠DEB=90∘
∴△ADF∽△DBE
∴DFBE=ADDB=106=53
∴DEEB=53
∵DE//AC
∴△BDE∽△BAC
∴ACBC=DEEB=53
设BE=3acm，则DE=5acm，
∴BC=3a+5a=8acm
AC=8a×53=403a
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2
解得a2=1817
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2
=1603a2−25a2
=853a2
=853×1817
=30cm2．
故选：A．  
3.【答案】D 
【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，
可知AC=5cm，
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．

∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE=x，则有：x5=125−x125，
解得x=6037，
故选：D．
Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．

4.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF=12AD，BG=12BC，
∴AF=BG，
∵AF//BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB//FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故选项A不符合题意；
∵AD=2，
∴DF=1，
∵AB=CD=1，
∴DF=CD，
∵AB//FG，AB//CD，
∴FG//CD，
∵FD//CG，
∴四边形CDFG是平行四边形，
∴四边形CDFG是菱形，
∴CF⊥DG，故选项B不符合题意；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=EF=FM，
故选项C不符合题意；
∵四边形CDFG是菱形，
∴∠DFC=∠CFG，
∵EF=CF，FG⊥CE，
∴∠DFC=∠CFG=∠EFG<∠AFG，故选项D符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，AB//CD，根据三角形中位线的性质得到AF=12AD，BG=12BC，根据平行线的性质得到CE⊥FG；故选项A不符合题意；根据菱形的判定定理得到四边形CDFG是菱形，根据菱形的性质得到CF⊥DG，故选项B不符合题意；延长EF，交CD延长线于M，根据全等三角形的性质得到FE=MF，∠AEF=∠M，求得FC=EF=FM，故选项C不符合题意；根据菱形的性质得到∠DFC=∠CFG，推出∠DFC=∠CFG=∠EFG<∠AFG，故选项D符合题意．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8．
∴AB=10，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=10，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD//BC，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，
∠AFG=∠CFB∠GAC=∠BCAAF=CF，
∴△AFG≌△CFB(AAS)，
∴BF=FG，AG=BC=6，
∴DG=10−6=4，
∵E是BD的中点，
∴EF=12DG=2．
故选：A．
根据勾股定理得到AB=10，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=10，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=6，求得DG=10−6=4，根据三角形中位线定理即可得到结论．
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，

∴四边形GMNP是矩形，
∴GM=PN，GP=MN，
∵∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM=12AD=1，AM=12AE，
FN=12AC=52，AN=12AB=52，
∴MN=AN−AM=52−12AE，
∴PN=1，FP=32，
设AE=m，
∴AM=12m，GP=MN=52−12m，
在Rt△AGM中，AG2=(12m)2+12，
在Rt△GPF中，GF2=(52−12m)2+(32)2，
∵AG=GF，
∴(12m)2+12=(52−12m)2+(32)2，
解得m=3，即AE=3，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=13．
故选：A．

分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
本题主要考查中位线定理，勾股定理等，构造中位线是解题过程中常见思路．

7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．
由大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，可得BF=AE=GC=DH=3，可得AB，过点P作PM⊥CG于点M，由三角形EFG为等腰直角三角形可证得三角形GPM也为等腰直角三角形，设GM=PM=a，则CM=3−a，由tan∠DCH=tan∠BAF=BFAF=34=PMCM=a3−a，可解得a，进而可得PC，即可求出DP
【解析】
解：由图可知∠AFB=90°，AE=3EF=3，
则EF=1，AE=3，
∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，
故AE=BF=GC=DH=3
则AF=4
则在Rt△AFB中，有AB2=AF2+BF2，
即AB=5
过点P作PM⊥CG于点M，如图所示．

∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EGF=∠PGM=45°，
故△GPM为等腰直角三角形．
设GM=PM=a，则MC=3−a，
∵tan∠DCH=tan∠BAF=BFAF=34=PMCM=a3−a
解得：a=97．
∴MC=127
∴PC=PM2+CM2=972+1272=157
∴DP=CD−CP=AB−CP=207  
8.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、含30°角的直角三角形、角的计算等知识．
 ①当点E为AB中点时，作GM⊥AB于点M，首先利用矩形的性质和在直角三角形中若直角边等于斜边的一半知∠BFE=30°；然后利用等腰直角三角形的性质和角的和差计算即可求出∠AEG=180°−∠GEF−∠BEF=180°−45°−60°=75°，从而知结论 ①正确；
 ②证明△EMG≌△FNG即可知结论 ②正确；
 ③分析可知当EG⊥AB时，点G到AB的距离最大为EG值，利用等腰直角三角形性质即可知结论 ③正确；
 ④分析知点E始终在AB上运动，且在由B到A的运动过程中，点G到AB的距离越来越大，所以假设当点E与点B重合时距离最短，求出最短距离即可知结论 ④错误．
【解答】
解：如图，当点E为AB中点时，作GM⊥AB于点M，

由矩形ABCD中知∠B=90°,
∵点E为AB中点，AB=8，
∴BE=12AB=4，
在RtΔBEF中，EF=AB=8，BE=4，
∴∠BFE=30°，
∴∠BEF=60°，
∵GE=GF且∠EGF=90∘，
∴△GEF是等腰直角三角形，∠GEF=∠GFE=45°，
∴∠AEG=180°−∠GEF−∠BEF=180°−45°−60°=75°，
故结论 ①正确；
如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，则∠EMG=∠FNG=90∘，


∵∠MEG+∠GEB=180∘，∠B=∠EGF=90°，
∴∠GEB+∠GFB=360°−∠B−∠EGF=180∘，
∴∠MEG=∠GFB=∠NFG，
由题知EG=FG，
∴在ΔEMG和ΔFNG中，∠EMG=∠FNG∠MEG=∠NFGEG=FG
∴△EMG≌△FNG(AAS)，
∴MG=NG，故结论 ②正确；
∵△EFG是等腰直角三角形，EF=8，
∴EG=EFcos45°=42，
分析可知当EG⊥AB时，点G到AB的距离最大，最大值为42，故结论 ③正确；
由题意可知，点E始终在AB上运动，且在由B到A的运动过程中，点G到AB的距离越来越大，所以假设当点E与点B重合时距离最短，如图，作GM⊥AB，则∠GMB=90°，

由(3)知EG=EFcos45°=42，且∠GBE=∠B−∠GEF=45°，
∴GM=EGsin45°=42×22=4，
∵点E不与A，B重合，
点G到AB的距离大于4，故 ④结论错误．
综上所述，结论 ① ② ③正确．
故选C．
  
9.【答案】D 
【解析】解：观察图象可知：点P在CD上运动的时间为6s，在DE上运动的时间为4s，点Q在BC上运动的时间为12s，
所以CD=6，DE=4，BC=12，
∵AD=BC，
∴AD=12，
∴AE=12−4=8cm，故A正确，
在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，
∴BE=62+82=10，
∴sin∠EBC=sin∠AEB=ABBE=610=35，故B正确，
当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=10−(t−10)=20−t，又易知此时的∠PBQ=∠AEB，
∴△BQP中BQ边上的高h=BP·sin∠PBQ=BP·sin∠AEB=35(20−t)，
∴S△BQP=BQ·h2=3t20−t10=−310t2+6t，故C正确，
故选：D．
由图中信息一一判断即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，是中考选择题中的压轴题．

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
①根据四边形ABCD是正方形，和翻折即可证明①正确；
②结合①和翻折的性质，利用勾股定理可得BG=GF=CG=3，进而根据三角形内角和可得②正确；
③根据tan∠AGB，tan∠FCM的值即可判定③正确；
④根据S△EGC=
1
2
⋅GC⋅EC即可计算，可以判断④错误；
⑤根据已知求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°−∠GAF=135°，即可判断⑤错误．
【解答】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由翻折可知：
AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AGAB=AF
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
所以①正确；
②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，BG=FG，
∵CD=3DE=6，
∴DE=EF=2，
∴CE=CD−DE=4，
在Rt△EGC中，CE=4，
EG=EF+FG=2+BG，
CG=BC−BG=6−BG，
根据勾股定理，得
EG2=CE2+CG2，
即(2+BG)2=42+(6−BG)2，
解得BG=3，
∴CG=3，
∴BG=CG，
所以②正确；
③由②得，BG=CG，
由①得Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，
∠GFC=∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG
∴∠AGB=∠AGF，
∴∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°−∠FGC=∠GFC+∠GCF
=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF，故③正确，
④∵S△EGC=12×3×4=6，故④正确;
⑤∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°−∠GAE=135°．
所以⑤错误．
所以其中正确的是①②③④，一共4个．
故选：C．
  
11.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
如图取格点K，连接BK，则CD//BK.过点K作KH⊥AB于H.利用面积法求出HK，再利用勾股定理求出BH即可解决问题．
【解答】
解：如图取格点K，连接BK，则CD//BK．

过点K作KH⊥AB于H．
∵S△ABK=12⋅AK⋅4=12⋅AB⋅KH，AB=42+72=65，
∴HK=2065=46513，
∵BH=BK2−HK2=20−(46513)2=66513，
∴CD//BK，
∴∠AOC=∠ABK，
∴tan∠AOC=tan∠ABK=HKBH=4651366513=23，
故选A．  
12.【答案】D 
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AD=BC，
∴∠EAF=∠ACB，
∵BE⊥AC，垂足为点F，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠CBA，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD//BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AFCF=AECB，
∵E为AD的中点，
∴AECB=AEAD=12，
∴AECF=12，
∴CF=2AE，故②正确；
过D作DN//BE，交AC于M，则DN⊥AC，

∵AD//BC，
∴四边形BNDE为平行四边形，
∴BN=ED=12BC，即N为BC的中点，
∴M为CF的中点，
∴DF=DC，故③正确；
根据已知条件无法判断AD=2AB，故无法得到tan∠CAD=12，故④错误；
设S△AEF=a，则S△ADF=2a，
∵△AEF∽△CBF，
∴S△AEFS△CBF=(AEBC)2=14，
∴S△CBF=4a，
∵S△ABF：S△CBF=AF：CF=1：2，
∴S△ABF=2a，
∴S△ADC=S△ABC=6a，
∴S四边形BCDF=8a，
∴S△ABF：S四边形BCDF=2a：8a=1：4，故⑤正确．
综上，正确个数有4个．
故选：D．
结合矩形的性质证明∠EAF=∠ACB，AFE=∠CBA，可证明①；证明△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质可证明②；过D作DN//BE，∠AC于M，则DN⊥AC，证明M为CF的中点，可证明③；根据已知条件无法证明④；设S△AEF=a，则S△ADF=2a，由相似三角形的性质可求解相关三角形的面积，进而可求得S四边形BCDF=4a，即可证明⑤．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形等知识的综合运用．

13.【答案】(1)4；
(2) 12+855． 
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形．
(1)过A作AH⊥CD于H，证明△GAC∽△AHC，得出AGAH=ACCH，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、CH，即可进行解答；
(2)过G作GF⊥DC于F，过A作AH⊥CD于H，根据等腰三角形性质结合已知条件和勾股定理分别求出CE和AE的长，再证明△EAH∽△EGF，AHGF=AEEG，代入数据可计算出GF的长即为点G上升的高度．
【解答】
解：(1)过A作AH⊥CD于H，

∵AG⊥AC，
∴∠GAC=∠AHC=90°，
∵∠GCA=∠ACH，
∴△GAC∽△AHC，
∴AGAH=ACCH，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，
∴CH=DH=1.8米，
∴AH=AC2−CH2=32−1．82=2.4(米)，
∴AG2.4=31.8，
∴AG=4(米)，
故答案为：4；
(2)过G作GF⊥DC于F，过A作AH⊥CD于H，则∠AHE=∠GFE=90°，

∵CD=3.6米，DE：CE=5：1，
∴CE=0.6米，
∴EH=1.8−0.6=1.2(米)，
∴AE=1．22+2．42=655(米)，
∵∠AEH=∠GEF，
∴△EAH∽△EGF，
∴AHGF=AEEG，
即2.4GF=655655+4，
∴GF=85+125(米)，
故G点上升的高度为85+125米．
故答案为：85+125．  
14.【答案】120° 
【解析】解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，

∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴CF=12AB=DF，
又∵CD=m，AB=2m，
∴CD=12AB，
∴CF=DF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD=60°，
∴∠AFC+∠BFD=120°，
∵CF=BF，AF=DF，
∴∠AFC=2∠ABE，∠BFD=2∠BAE，
即∠ABE=12∠AFC，∠BAE=12∠BFD，
∴∠ABE+∠BAE=12∠BFD+12∠AFC=12(∠BFD+∠AFC)=12×120°=60°，
∴△ABE中，∠AEB=180°−60°=120°，
故答案为：120°．
取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD=60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE=12∠AFC，∠BAE=12∠BFD．

15.【答案】255 【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点A落在AC和BC上时AD的值是本题的关键．由勾股定理可而且AC的长，分别求出当点Aˈ落在AC上时和当点Aˈ落在BC上时，AD的长，即可求解．
【解答】
解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=4+16=25，
当点Aˈ落在AC上时，如图，

∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，
∴∠ADB=∠AˈDB=90°，
∵cosA=ADAB=ABAC，
∴AD=2×225=255，
当点Aˈ落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，


∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴BH=DH，
∵tanA=HDAH=BCAB=2，
∴HD=2AH=BH，
∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，
∴AH=23，BH=43=DH，
∴AD=AH2+HD2=49+169=253，
∴当点A′在△ABC内部(不含边界)时，AD长度的取值范围为255   
16.【答案】①③⑤ 
【解析】解：①根据题意可知：EF=CF，EG=CG，
在△EGF和△CGF中，
EF=CFEG=CGFG=FG，
∴△EGF≌△CGF(SSS)，故①正确；
②在正方形ABCD中，
∵∠B=90°，CD=BC，
∴CG>BC，
∵点F在CD边上，
∴CF ∴CF≠CG，
∴四边形EGCF是姜形，故②错误；
③如图，过点G作GH⊥CD于点H，
∴AD=AB=CD=GH，AG=DH，

∵sin∠AGF=31010，
∴HGFG=310，
设HG=3x，CH=a，
∴FG=10，AD=AB=CD=3x，
∴FH=x，AG=DH=3x−a，
∴EF=CF=a+x，DF=2x−a，
∵DE+AB=12，
∴DE=12−3x，
∴AE=6x−12，
在Rt△AEG中，根据勾股定理得：
EG2=AE2+AG2，
∴EG2=(6x−12)2+(3x−a)2，
在Rt△CHG中，根据勾股定理得：
CG2=CH2+HG2，
∴CG2=a2+(3x)2，
∴a2+(3x)2=(6x−12)2+(3x−a)2，
整理得ax=6x2−24x+24，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
∴(a+x)2=(12−3x)2+(2x−a)2，
整理得ax=2x2−12x+24，
∴6x2−24x+24=2x2−12x+24，
解得x=3或x=0(舍去)，
∴a=2，
∴FH=3，AB=CD=AD=9，
∴CH=2，AG=DH=7，DE=3，故③正确；
④∴AE=6，
∴EG=AE2+AG2=85，
∴△AEG的周长是AE+AG+EG=13+85，故④错误；
⑤如图，连接CE交FG于点P，

∴FG垂直平分CE，
∵CE=DE2+CD2=310，
∴PE=3102，
∴PG=EG2−PE2=5102，
∴cos∠EGF=PGEG=510285=53434，故⑤正确；
所以正确的结论有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
根据折叠的性质可得△EGF≌△CGF即可判断①正确；再根据正方形的性质可得CF≠CG，进而可以判断②错误；过点G作GHLCD于点H，则AD=AB=CD=GH，AG=DH，可得sin∠AGF=31010，设HG=3x，CH=a，则FG=10，AD=AB=CD=3x，根据勾股定理即可判断③正确；再利用公股定理计算△AEG的周长是AE+AG+EG=13+85，进而可以判断④错误；然后连接CE交FG于点P，则FG垂直平分CE，利用勾股定理和锐角三角函数，可以判断⑤正确．
本题主要考查了正方形的性质，图形的折叠，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质，图形的折叠，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

17.【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形BDCE是矩形，
所以，CE=BD=2.7米，
BE=CD=1.2米，
由题意得，CEAE=0.91，
所以，AE=2.70.9=3米，
树高AB=AE+BE=3+1.2=4.2米． 
【解析】过点C作CE⊥AB于E，根据同时同地物高与影长成正比列比例式求出AE的长度，再根据矩形的对边相等可得BE=CD，然后根据AB=AE+BE计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地物高与影长成正比并列出比例式是解题的关键，难点在于作辅助线构造出三角形．

18.【答案】解：根据题意得出：QR//ST，
则△PQR∽△PST，
故PQPQ+QS=QRST，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴PQPQ+45=6090，
解得：PQ=90(m)，
∴河的宽度为90米． 
【解析】根据相似三角形的性质得出PQPQ+QS=QRST，进而代入求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．

19.【答案】解：(1)5.1；
(2)如图1：设AB为乙树的高度，BC=2.4米，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=1.2米
由题意得：BEBC=BE2.4=10.8，
解得：BE=3(米)，
故乙树的高度AB=AE+BE=4.2(米)；

(3) C；
(4)如图3：设AB为丁树的高度，BC=2.4米，CD=3.2米，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，
由题意得：BEBC=BE2.4=10.8，解得：BE=3(米)，
CF3.2=1.62，解得CF=2.56(米)，
故AE=CF=2.56米，
故丁树的高度AB=AE+BE=BE+CF=5.56(米)．
 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解，考查了同学们的建模能力．
(1)直接利用同一时刻物体的影长与实际高度比值不，变进而得出答案；
(2)直接利用平行四边形的性质得出AE的长，进而得出答案；
(3)首先画出基本图形，进而分别求出AG，BG的长，即可得出答案；
(4)首先画出基本图形，进而分别求出AE，BE的长，即可得出答案．
【解答】
解：(1)∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米，
∴甲树的高度为：4.08÷0.8=5.1(米)．
故答案为：5.1；
(2)见答案；
(3)如图2，

设AB为丙树的高度，EF=0.2米，由题意得：DE0.2=10.8，∴DE=0.25(米)，
则CD=0.25+0.3=0.55(米)，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=CD=0.55(米)，
又由题意得BGBC=BG4.4=10.8，
∴BG=5.5(米)，
∴AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05(米)，
故选：C．

(4)见答案．  
20.【答案】解：(1)∠A+∠C=90°；

(2)如图2，过点B作BG//DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM//CN，BG//AM，
∴CN//BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
(3)如图3，过点B作BG//DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由(2)可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°，整理得：4α+β=90°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，整理得：α+β=45°，②
由①−②解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角(补角)相等进行推导．余角和补角计算的应用常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
(2)先过点B作BG//DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；
(3)先过点B作BG//DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解答】
解：(1)如图1，∵AM//CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
(2)见答案；
(3)见答案．  
21.【答案】证明：(1)∵平行四边形DBCE，
∴CE//BD，CE=BD，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CE//AD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC//DE，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形；
(2)在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，
∴BC=47，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF=27，
∴四边形ADCE的面积=AC×DF=247；
(3)应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB(三线合一的性质)，即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．(对角线互相垂直且相等的四边形是正方形) 
【解析】(1)由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
(2)根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
(3)应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．
本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．

22.【答案】解：(1)∵EF//GH
∴∠ECA=∠CAB=60∘
∵∠ACB=90∘
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=60∘+90∘=150∘；
(2)∠O的度数不变．

∵CD平分∠ACE，QO平分∠CQH
∴∠ECD=12∠ACE，∠OQH=12∠CQH
∵EF//GH
∴∠ECB=∠CQH
又∠FCO=∠ECD=12∠ACE
∴∠FCO+∠OQH=12∠ACE+12∠ECB
=12×90∘
=45∘．
过O作OM//EF，
又EF//GH
∴OM//EF//GH
∴∠1=∠FCO，∠2=∠OQH
∴∠COQ=∠1+∠2=∠FCO+∠OQH=45∘
(3)存在.原因如下：
当点A在直线EF上时(如图1)，∠FCB=90∘
当点A在直线GH上时(如图2)，∠FCB=30∘
∵点A在直线EF，GH之间(不含在EF，GH上)

∴30∘<∠FCB<90∘
∵∠FCB=n∘，
∴30 ∵EF//GH
∴∠CQP=∠FCB=n∘
∵∠CAB=60∘，∠ACB=90∘
∴∠APH+∠CQP=360∘−60∘−90∘=210∘
若∠APH=m∠FCB，
则mn+n=210
∴n(m+1)=210
∵30 ∴30(m+1) ∴30(m+1)<21090(m+1)>210
解得113 ∴m=2，3，4或5
∵n(m+1)=210
∴n=210m+1
当m=2时，n=2102+1=70;
当m=3时，n=2103+1=1052，不合题意，舍去
当m=4时，n=2104+1=42;
当m=5时，n=2105+1=35．
综上所述，存在正整数m=2，n=70;m=4，n=42;m=5，n=35满足题意． 
【解析】此题考查了平行线的性质，角的平分线，一元一次不等式组的应用，角的计算等．
(1)根据平行线的性质，可得到∠ECA=∠CAB=60∘，再根据∠ACB=90°，再根据∠ECB=∠ECA+∠ACB代入可得到∠ECB的度数；
(2)根据角的平分线定义，平行线的性质可得到∠ECB=∠CQH，再根据对顶角定义得到∠FCO=∠ECD=12∠ACE，进而得到∠FCO+∠OQH=12∠ACE+12∠ECB，再使用平行线的性质即可得到∠COQ的度数；
(3)可分情况：当点A在直线EF上时(如图1)，∠FCB=90∘；当点A在直线GH上时(如图2)，∠FCB=30∘，列出相应的一元一次不等式组，再分别求得对应的m和n的值，根据实际进行讨论取合适的值．

23.【答案】解：(1)∵OA=3，OB=4，
∴B(4,0)，C(4,3)，
∵F是BC的中点，
∴F(4,32)，
∵F在反比例y=kx函数图象上，
∴k=4×32=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
∵E点的纵坐标为3，
∴E(2,3)；
(2)∵F点的横坐标为4，
∴F(4,k4)，
∴CF=BC−BF=3−k4=12−k4，
∵E的纵坐标为3，
∴E(k3,3)，
∴CE=AC−AE=4−k3=12−k3，
在Rt△CEF中，tan∠EFC=CECF=43，
(3)如图，由(2)知，CF=12−k4，
CE=12−k3，CECF=43，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴EHBG=EGFG=CECF，
∴3BG=43，
∴BG=94，
在Rt△FBG中，FG2−BF2=BG2，
∴(12−k4)2−(k4)2=8116，
∴k=218，
∴反比例函数解析式为y=218x． 
【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．
(1)先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；
(2)先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；
(3)先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．

24.【答案】解：(1)∵y=ax2−4ax+3a=a(x2−4x+3)=a(x−1)(x−3)，a<0，
∴令y=0可得：a(x−1)(x−3)=0，
解得：x1=1，x2=3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)；
(2)由(1)可知AB=3−1=2，且C为抛物线的顶点，如图，过点C作CH⊥AB，则AH=HB=12AB=1．

∵当△ABC为等腰直角三角形时，∠ACB=90∘，∠CAB=45°，
∴点H的坐标为(2,0)，
∴CH=AH⋅tan∠CAB=1，
∴点C的坐标为(2,1)．
将点C(2,1)代入y=a(x−1)(x−3)中，得a=−1，
∴抛物线表达式为y=−x2+4x−3．
当∠DOA=45∘时，则有tan∠DOA=1，设点D的坐标为(t,−t2+4t−3)，
过点D作x轴的垂线，进而有tan∠DOA=|yD||xD|=|−t2+4t−3||t|=1，
①当−t2+4t−3=t时，即−t2+3t−3=0，
∵Δ=32−4×(−1)×(−3)=−3<0，
∴此方程无解；
②当−t2+4t−3=−t时，即−t2+5t−3=0，
∵Δ=52−4×(−1)×(−3)=13>0，
∴t=5±132，
解得t1=5−132，t2=5+132，
将t=5−132时，−t2+4t−3=13−52；
将t=5+132时，−t2+4t−3=−13+52．
综上所述，点D的坐标为(5−132,13−52)或(5+132,−13+52). 
【解析】本题主要考查了二次函数与等腰直角三角形、锐角三角函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质以及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
(1)先将二次函数一般式化为交点式，再令y=0得出关于x的一元二次方程并求解，最后根据A、B的位置即可确定坐标；
(2)先求出AB的长，再作出图象并过点C作CH⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知AH=HB=1，再根据等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数的定义与tan45°=1可分别求得点H、C的坐标，从而利用待定系数法可确定二次函数解析式，进而设点D的坐标为(t,−t2+4t−3)，过点D作x轴的垂线，根据锐角三角函数的定义与tan45°=1可得关于t的含绝对值的方程，最后分类讨论解此含绝对值的方程即可解决问题．

25.【答案】解：(1)如图1，当边FG恰好经过点C时，

∵△EFG是等边三角形，
∴∠CFB=60°，
∴BF=3−t，
在Rt△CBF中，
∵BC=23，tan∠CFB=BCBF，
∴tan60°=23BF，
解得BF=2，即3−t=2，
∴t=1，
当边FG恰好经过点C时，t=1；
(2)如图2，过点M作MN⊥AB于N，

当0≤t<1时，
∵tan60°=MNEN=23EN=3，
∴EN=2，
∵EB=3+t，NB=3+t−2=1+t，
∴MC=1+t，
∴S=12(MC+EB)⋅BC=23t+43；
如图3，当1≤t<3时，

∵MN=23，EF=OP=6，
GH=6×sin60°=6×32=33，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，
∴△GMK∽△GEF，
∴MKEF=GH-MNGH，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3−t，BQ=33−3t，
∴S=S梯形MKFE−S△QBF=12×2+6×23−123−t33−3t=-32t2+33t+732；
如图4，当3≤t<4时，

∵MN=23，EF=6−2(t−3)=12−2t，
∴GH=EF×sin60°=(12−2t)×32=63-3t，
∴MKEF=GH-MNGH，
∴MK=8−2t，
∴S=−43t+203；
当4≤t<6时，
∵EF=12−2t，
∴高为：EFsin60°=32EF，
∴S=3t2−123t+363；
(3)存在．
在Rt△ABC中，tan∠CAB=BCAB=33，
∴∠CAB=30°，
∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3−t或t−3，
如图5，当AH=AO=3时，

过点E作EM⊥AH与M，
则AM=12AH=32，
在Rt△AME中，
cos∠MAE=AMAE，即cos30°=32AE，
∴AE=3，
即3−t=3或t−3=3；
∴t=3-3或t=3+3；
如图6，当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，

∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
∵AE+2AE=3，
∴AE=1，即3−t=1或t−3=1，
∴t=2或t=4；
如图7，当OH=OA=3时，

∠HOB=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=3，
当E刚开始时，3−t=3，
当E返回时t−3=3，
∴t=0，t=6(舍去)，
综上所述当t=3-3，t=3+3，t=2，t=4，t=0时，△AOH是等腰三角形．
 
【解析】此题是四边形的综合题目，主要涉及知识点矩形的性质和判定以及解直角三角形的知识和等腰三角形的判定．
(1)当边FG恰好经过点C时，由∠CFB=60°得BF=3−t，在Rt△CBF中，根据三角函数求得t的值；
(2)根据运动的时间为t不同的取值范围，求等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S的值，当0≤t<1时，重叠部分是直角梯形，面积S等于梯形的面积，
当1≤t<3时，重叠部分是S梯形MKFE−S△QBF，当3≤t<4时，重叠部分是S梯形MKFE，当4≤t<6时，重叠部分是正三角形的面积；
(3)当AH=AO=3时，AM=12AH=32，在Rt△AME中，由cos∠MAE=AMAE即cos30°=32AE，得AE=3，即3−t=3或t−3=3，求出t=3-3或t=3+3；
当AH=HO时，∠HOA=∠HAO=30°，又因为∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3−t=1或t−3=1，求出t=2或t=4；
当OH=OA=3时∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到点E和点O重合，从而求出t的值．