《高考数学二轮满分突破讲义》专题三 第1讲 等差数列与等比数列

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考点一 等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差数列的求和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d；
(4)等比数列的求和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( )
A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺
答案 A
解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，由题意，有a1＋a4＋a7＝37.5，根据等差数列的性质，得a4＝12.5，而a12＝4.5，设公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝12.5，,a1＋11d＝4.5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝15.5，,d＝－1，))所以冬至的日影长为15.5尺．
(2)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为________．
答案 －30
解析 ∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上，
∴an＝2n－1(n∈N*)，
∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝eq \f(1×1－2n,1－2)＝2n－1，
则bn＝＝2n－12(n∈N*)，
∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列，
∴Tn＝－10n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2－11n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(11,2)))2－eq \f(121,4).
又n∈N*，
∴Tn的最小值为T5＝T6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－eq \f(121,4)＝－30.
规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴eq \f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则( )
A．da6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)1，a71，T13＝aeq \\al(13,7)1的最大正整数n的值为12，C正确，D错误．
三、填空题
9．(2020·江苏)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．
答案 4
解析 由题意知q≠1，
所以Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＋eq \f(b11－qn,1－q)
＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n＋eq \f(b1,1－q)－eq \f(b1qn,1－q)
＝n2－n＋2n－1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(d,2)＝1，,a1－\f(d,2)＝－1，,\f(b1,1－q)＝－1，,－\f(b1,1－q)qn＝2n，))解得d＝2，q＝2，
所以d＋q＝4.
10．(2020·北京市顺义区质检)设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝________，eq \f(S4,S2)＝________.
答案 3 10
解析 设等比数列的通项公式an＝a1qn－1，又因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，eq \f(S4,S2)＝eq \f(\f(a11－34,1－3),\f(a11－32,1－3))＝eq \f(1－34,1－32)＝10.
11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需移动的最少次数，{an}满足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an－1－1n为偶数，,2an－1＋2n为奇数，))则解下5个圆环需最少移动________次．
答案 16
解析 因为a5＝2a4＋2＝2(2a3－1)＋2＝4a3，
所以a5＝4a3＝4(2a2＋2)＝8a2＋8＝8(2a1－1)＋8＝16a1＝16，
所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.
12．已知等比数列{an}的首项为eq \f(3,2)，公比为－eq \f(1,2)，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B恒成立，则B－A的最小值为________．
答案 eq \f(13,6)
解析 ∵等比数列{an}的首项为eq \f(3,2)，公比为－eq \f(1,2)，
∴Sn＝eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)),1＋\f(1,2))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，则－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,4)，Sn＝1－t，
∴eq \f(3,4)≤Sn≤eq \f(3,2)，
∴2Sn－eq \f(1,Sn)的最小值为eq \f(1,6)，最大值为eq \f(7,3)，
又A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B对任意n∈N*恒成立，
∴B－A的最小值为eq \f(7,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(13,6).
四、解答题
13．(2020·聊城模拟)在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，________，a1＝b6，若对于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k为常数)，求正整数k的值．
解 由Tn＝2bn－1，n∈N*得，
当n＝1时，b1＝1；
当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－1，
从而bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，
由此可知，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
故bn＝2n－1.
①当a5＝b3＋b5时，a1＝32，a5＝20，
设数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d，
即20＝32＋4d，解得d＝－3，
所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，
因为当n≤11时，an>0，当n>11时，an0，当n>11时，an0，当n>11时，an1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为eq \f(2n－1·3n＋1,2).
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，任意n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
解 (1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(2n－1·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(2n－3·3n－1＋1,2)(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公比为eq \f(1,3)的等比数列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))