2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题三第1讲　等差数列与等比数列



第1讲　等差数列与等比数列
[2019考向导航]
考点扫描
三年考情
考向预测
2019
2018
2017
1．等差数列与等比数列基本量的运算
第8题

第9题
数列是江苏高考考查的热点．考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法．一般有两道题，一道填空题，一道解答题．在填空题中，突出了“小、巧、活”的特点，属中高档题，解答题主要与函数、方程、推理证明等知识综合考查，属中等难度以上的试题，甚至是难题，多为压轴题．
2．等差数列与等比数列的综合运用
第20题
第20题


1．必记的概念与定理
(1)an与Sn的关系
Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝
(2)等差数列和等比数列

等差数列
等比数列
定义
an－an－1＝常数(n≥2)
＝常数(n≥2)
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
判定方法
(1)定义法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1，n∈N*)⇔{an}为等差数列
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1，n∈N*)(an≠0) ⇔{an}为等比数列
(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数)⇔{an}为等比数列
判定方法
(5){an}为等比数列，an>0⇔{logban}为等差数列
(4){an}为等差数列⇔{ban}为等比数列(b>0且b≠1)
2．记住几个常用的公式与结论
(1)等差数列的性质
①在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，d＝；
②当公差d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的常数项为0的二次函数．
③若公差d>0，则数列为递增等差数列，若公差d0，q>1，则{an}为递增数列；若a11, 则{an}为递减数列；若a1>0，00，所以q>1，所以q＝2．
[答案] 2
5．(2019·苏锡常镇四市高三教学调研(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为______．
[解析] 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{an}，易知公比q＝，则S7＝＝2a1＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q6＝700××＝，所以这匹马最后一天行走的里程数为．
[答案]
6．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则＝______．
[解析] 法一：设等比数列{an}的公比为q，若公比q为1，则＝，与已知条件不符，所以公比q≠1，所以Sn＝，因为＝，所以＝，所以q5＝2，所以＝＝＝．
法二：因为＝，所以不妨设S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，从而S20＝15a，所以＝＝．
[答案]
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么an＋bn组成的数列的第37项的值为________．　
[解析] {an}，{bn}都是等差数列，则{an＋bn}为等差数列，首项为a1＋b1＝100，
d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－100＝0，所以{an＋bn}为常数数列，第37项为100．
[答案] 100
8．(2019·南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列{an}中，a2＝3，a4＝27，S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列{anan＋1}的前n项和，若S2n＝kTn，则实数k的值为______．
[解析] 因为各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，所以S2n＝＝，an＝3n－1．令bn＝anan＋1＝3n－1·3n＝32n－1，所以b1＝3，数列{bn}为等比数列，公比q′＝9，所以Tn＝＝．因为S2n＝kTn，所以＝k·，解得k＝．
[答案]
9．(2019·泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1＋b1>0，a2＋b2