《新高考数学大二轮复习课件》专题三 第1讲 等差数列、等比数列

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KAO QING FEN XI
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式 出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点.
考点一　等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
例1　(1)(2021·淄博模拟)已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q等于
解析　因为2S3＝a2＋a3＋a4，所以2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4，即2a1＋a2＋a3＝a4，因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3，即(q－2)(q2＋q＋1)＝0，因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2.
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
则q2－2q－3＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝3.
(2)(2021·重庆一中检测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.2.6 　　B.2.5 　　 C.2.7 　　D.2.8
解得2n＝6或2n＝1(舍去).
∴需2.6日蒲、莞长度相等.
考点二　等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝　.2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an.
例2　(1)(2021·崇左模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于A.225 　　 B.250 　　 C.270　　 D.300
解析　等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30,
不妨令 S4＝1，则S8＝3，所以 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列，解得S12＝7，S16＝15，
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，
(2)(多选)(2021·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则A.d0(n∈N*)，即q>0；若a10，解得n6，又n为正整数，故n的最小值为7.