数学八年级下册15.3 平行四边形的性质与判定课堂检测

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2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练
必考点05 平行四边形的性质与判定


●题型一 利用平行四边形的性质进行相关计算问题
◎◎ 利用平行四边形的性质求角度◎◎
【例题1】（2021春•天心区期末）在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C的大小是（　　）
A．20° B．40° C．70° D．75°
【答案】C．
【分析】根据“平行四边形的对角相等”的性质推知∠A＝∠C，则可求∠C＝70°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：C．
◎◎ 利用平行四边形的性质求线段长◎◎
【例题2】（2021秋•海曙区校级期末）如图，在□ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（　　）

A． B． C．2 D．
【答案】C．
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C．
◎◎ 利用平行四边形的性质求周长或面积◎◎
【例题3】如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是（　　）

A．16 B．20 C．14 D．24
【答案】B．
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出□ABCD的周长．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴□ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：B．
◎◎ 两条平行线间的距离的应用◎◎
【例题4】（2021春•铜仁市期末）已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是8cm，那么直线a与c之间的距离是 　 　．
【答案】11cm或5cm．
【分析】画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．
【解答】解：有两种情况，如图：

（1）直线a与c的距离是3+8＝11（厘米）；
（2）直线a与c的距离是8﹣3＝5（厘米）；
故答案为：11cm或5cm．
◎◎利用平行线的性质进行证明◎◎
【例题5】（2021春•庐江县期中）如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设□ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．

【分析】（1）利用ASA证明：△BCE≌△ADF；
（2）根据点E在□ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为6，
∴四边形AEDF的面积为3．

【解题技巧提炼】
平行四边形的性质：
（1）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边平行且相等．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（2）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
（3）两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.

●题型二 利用平行四边形的判定解决问题
【例题6】（2022春•渝中区校级月考）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【答案】A．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有A符合条件．
故选：A．
【例题7】（2021•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF； （2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．

【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由全等三角形的性质得AC＝DF，∠ACB＝∠F，则AC∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．

【解题技巧提炼】
平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5） 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．

●题型三 利用三角形的中位线定理解决问题
◎◎ 应用三角形的中位线定理求线段的长◎◎
【例题8】（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
◎◎ 应用三角形的中位线定理推理证明◎◎
【例题9】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.

【分析】连接AC，由三角形的中位线定理可得EF=12AC，EF∥AC；GH=12AC，GH∥AC；于是可得EF=GH，EF∥GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解.
【解答】证明：连接AC ,

∵E，F，G，H是四边形ABCD的中点,
∴EF，HG分别是△BCA和△DCA的中位线,
∴EF∥AC，HG∥AC，且EF=,
∴EF∥HG， EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
【解题技巧提炼】
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

●题型四 平行四边形的判定与性质的综合应用
【例题10】（2021秋•泉港区期末）如图，点E、F分别是□ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　 　）

A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形
C．EG＝FH D．EH⊥BD
【答案】D．
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，
故选：D．

【例题11】（2021秋•渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴DE＝BF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，
∵DE⊥AC，
在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，
即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，
解得：AE＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，
∴△DOE的面积＝．
【解题技巧提炼】
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．






◆题型一 利用平行四边形的性质进行相关计算问题
1．（2021秋•台江区校级期末）已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是　 　．
【答案】70°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°．
故答案为：70°．
2．（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 　 　．

【答案】3．
【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3．
【解答】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，OM⊥AB，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，
∴OM＝OE，
∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，
∴OE＝ON，
∴OM＝ON，
∵OE＝1.5，
∴MN＝3，
故答案为：3．


3．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE． （2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
4．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则□ABCD的周长为（　　）

A．8 B．10 C．16 D．20
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，继而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），
∴□ABCD的周长为16，
故选：C．

◆题型二 利用平行四边形的判定解决问题
5．（2021春•长清区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．AO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．AD∥BC，且AD＝BC
【答案】A．
【分析】由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，
故选：A．

6．（2021春•台江区校级期中）如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AD＝BC．
求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）四边形DEBF是平行四边形．

【分析】（1）由AAS证明△ADF≌△CBE即可；
（2）由全等三角形的性质得DF＝BE，再由BE∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE∥DF，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）；
（2）由（1）得：△ADF≌△CBE，
∴DF＝BE，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

◆题型三 利用三角形的中位线定理解决问题
7．（2021秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　）

A．20 B．12 C．16 D．13
【答案】C．
【分析】根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC＝6，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，
故选：C．
8．在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC＝BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由．

【分析】取BC边的中点G，连接EG，FG．根据三角形中位线定理得到GE＝GF，根据平行线的性质和等量代换得到∠OMN＝∠ONM，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】解：如图，取BC边的中点G，连接EG，FG．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EG∥AC，EG＝AC，
同理：FG∥BD，FG＝BD，
∵AC＝BD，∴EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE．
∵EG∥AC，
∴∠OMN＝∠GEF．
同理，∠ONM＝∠GFE．
∴∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON．即△MON是等腰三角形．



◆题型四 平行四边形的判定与性质的综合应用
9．（2021秋•龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB； （2）四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）由SAS证明△AFD≌△CEB即可；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，则AF＝CE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，
∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．



1．（2020秋•张店区期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是（　　）

A．16 B．14 C．20 D．24
【答案】C．
【考点】平行四边形的性质；
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出□ABCD的周长．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在□ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴□ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
2．（2021秋•让胡路区校级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【答案】D．
【考点】平行四边形的判定；
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
3．（2021春•雁塔区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②∠ABC＝∠ADC，AB∥CD；③AB∥CD，OB＝OD；④AB＝CD，OA＝OC，能判定四边形ABCD为平行四边形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；
【分析】由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
③∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
④AB＝CD，OA＝OC，∠AOB＝∠OCD，不能判定△AOB与△OCD全等，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形；
能判定四边形ABCD为平行四边形的有3个，
故选：C．
4．（2021秋•庆云县期末）如图，在□ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为　 　．

【答案】．
【考点】平行四边形的性质；
【分析】利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出BF＝2，再解直角△BEF，求出EF，进而得出△ABE的面积．
【解答】解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝×4×2＝4．
故答案为：4．


5．（2022•开福区校级开学）已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 　 　．
【答案】（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）　．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质；
【分析】分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可．
【解答】解：分三种情况：
①当四边形OABM为平行四边形时，如图1所示：

则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（﹣4，1）；
②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示：

则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（2，3）；
③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示：

则AB∥MO，AB＝MO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，
∴M（4，﹣1）；
综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）；
故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．
6．（2021春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动， 秒后四边形CDPQ是平行四边形.

【答案】2．
【考点】平行四边形的判定；
【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP＝CQ，则得方程t＝6﹣2t求解．
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形，
则DP＝tcm，QC＝（6﹣2t）cm，
∵AD∥BC所以DP∥CQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：DP＝CQ即可，
即：t＝6﹣2t，
∴t＝2，
当t＝2时，DP＝CQ＝2（cm），
综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形，
7．（2021春•襄州区期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OB＝BC，再由等腰三角形的性质可判断②正确；然后由直角三角形的斜边上的中线性质和三角形中位线定理判断③错误，可证四边形BGFE是平行四边形，判断①正确，最后由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，
∵点E是OC中点，
∴BE⊥AC，故②正确；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF是△OCD的中位线，
∴EF∥CD，EF＝CD＝AB，
∴EF∥AB，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴EG＝AB＝AG＝BG，
∴EG＝EF＝AG＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，故①正确；
无法证明GE＝GF，故③错误；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确；
故选：C．
8．（2021秋•芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；
【分析】延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到 AG＝AC＝4，FG＝CF，进而求出BG，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，
故选：A．

9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
10．（2022•锦江区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；
【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
11．（2021秋•任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；
【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
12．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；
（2）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；
【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）根据ED∥FC，结合∠ACB＝60°，得出∠ACF＝∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED＝CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF＝DC．
【解答】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD＝∠BAC＝30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB＝∠EDB＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝30°，
∴∠ACF＝∠BAD＝30°，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD＝CF，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF＝CD．

（2）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB＝∠FCB，
∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝60°+∠BCF，∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB
∴∠AFC＝∠BDA，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD＝FC，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF＝DC．