专题16.3 二次根式的混合运算与化简求值（重点题专项讲练）-最新八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

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专题16.3  二次根式的混合运算与化简求值 【典例1】若，求的值．【思路点拨】先根据求出x的值，表示出（x+2）与（x2+4x）的值，再把原式进行化简，代入即可求出原式的值．【解题过程】解：∵，∴x＝a2，∴x+2＝a．∴x2+4x＝x（x+4）＝（a2）（a2）44a•．∵x≥0，∴，∴a≥1，1，∴a0．原式，，，，当a时，原式a2．1．（2021春•广西月考）在二次根式，，，，中与是同类二次根式的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．【解题过程】解：2，5，，，∴，与是同类二次根式，共2个，故选：B．2．（2020秋•平房区期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【思路点拨】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【解题过程】解：∵最简二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故选：D．3．（2021春•浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则等于（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．【解题过程】解：∵x、y都是负数，∴＝﹣（﹣x+2y）＝﹣（）2，故选：D．4．（2021秋•南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．【解题过程】解：原式＝（﹣2）2（﹣2）3＝423＝3，故选：A．5．（2021•遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）A．8 B．19 C．6 D．26【思路点拨】根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．【解题过程】解：∵两个小正方形面积分别为12，10，∴两个小正方形的边长分别为2，，∴两个小正方形重合部分的边长为2大正方形的边长，∴两个小正方形的重合部分是正方形，∵两个小正方形重合部分的面积为3，∴重合部分的边长为，∴大正方形的边长是2，∴空白部分的面积为（）2﹣（12+10﹣3）＝26．故选：D．6．（2021春•九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．【解题过程】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同号，并且x、y都是负数，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，当x＝﹣1，y＝﹣4时，＝2；当x＝﹣4，y＝﹣1时，2，则的值是，故选：B．7．（2021春•海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（　　）A． B．2 C．±2 D．5【思路点拨】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．【解题过程】解：xy，∵x，y为实数，xy＝5，∴x、y同号，当x＜0，y＜0时，原式2，当x＞0，y＞0时，原式2，由上可得，xy的值是，故选：C．8．（2020•武昌区校级自主招生）已知x，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x的值为（　　）A．0 B．1 C． D．【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵x，∴x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x＝x5（x﹣2）﹣x4+x2（x﹣2）+2x＝x5（2）﹣x4+x2（2）+2x＝x5（）﹣x4+x2（）+2x＝x4[x（）﹣1]+x2（）+2x＝0+x（）（）+2x＝﹣x+2x＝x．故选：C．9．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：；（2）计算：；（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题： 第一步第二步第三步第四步①以上化简步骤中第一步化简的依据是：　                                       　；②第 　  　步开始出现错误，请写出错误的原因 　                             　，该运算正确结果应是 　   　．【思路点拨】（1）利用平方差公式计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．【解题过程】解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；（2）原式＝5925＝55＝55；（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；故答案为：商的算术平方根，等于算术平方根的商；②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是．故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；  ．10．（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[]÷（）•（），其中x＝3，y＝2．【思路点拨】根据二次根式的化简求值即可求解．【解题过程】解：原式＝（）•（）••（）•（） 当x＝3，y＝2时，原式．答：原式的值为．11．（2020•杭州模拟）最简根式与能是同类根式吗？若能，求出x、y的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】根据同类根式的定义，即可推出（2x﹣y）（y+6），x+y＝3x+y﹣2，通过解二元一次方程组即可推出x和y的值．【解题过程】解：假设他们是同类根式，则：，解得，∵当时，x+y＝﹣1，3x+y﹣2＝﹣1，∴两根式皆无意义，∴假设错误，它们不能是同类根式．12．（2021秋•浦东新区校级月考）已知x＝3+2，求：的值．【思路点拨】利用完全平方公式把原式变形，根据二次根式的除法法则求出，代入计算即可．【解题过程】解：原式＝x2+26（x）+5＝（x）2+6（x）+5＝（x1）（x5），∵x＝3+2，∴3﹣2，∴x3+23﹣26．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．13．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3，y＝3，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）．【思路点拨】（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值，从而代入求值；（2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．【解题过程】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，∵x＝3，y＝3，∴x+y＝（3）+（3）＝336，xy＝（3）（3）＝9﹣7＝2，∴原式＝62﹣2×2＝36﹣4＝32；（2）原式，当xy＝2，x2+y2＝32时，原式16．14．（2021春•思明区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么这个三角形的面积S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【思路点拨】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；（2）按照三角形的面积等于 底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．【解题过程】解．（1）根据题意知p9所以S6∴△ABC的面积为6；（2）∵Sch1bh2＝6∴6h15h2＝6∴h1＝2，h2∴h1+h2．15．（2020秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　  　，b＝　  　；（2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开得到（mn）2＝m2+6n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解题过程】解：（1）∵（mn）2＝m2+6n2+2mn，ab＝（mn）2，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（mn）2＝m2+3n2+2mn，a+4（mn）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21，则 1．16．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．为解答这道题，若直接把x1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法：将条件变形，因x1，得x﹣1，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x1，求2x3+4x2﹣3x+1的值；（2）已知x＝2，求的值．【思路点拨】（1）变形已知条件得到x+1，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x的值代入计算即可；（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．【解题过程】解：（1）∵x1，∴x+1，∴（x+1）2＝2，即x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1，∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1＝2x﹣3x+1＝﹣x+1＝﹣（1）+1＝2；（2）∵x＝2，∴x﹣2，∴（x﹣2）2＝3，即x2﹣4x+4＝3，∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，∴原式（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x+5）[12（4x﹣1）﹣48x+15）（48x﹣12﹣48x+15）3．17．（2020秋•成都期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．∴方程组的解为．请你解决下列两个问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．（2）已知正数x，y满足，求的值．【思路点拨】（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组，再利用完全平方公式得到（）2，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：（1），把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．把①代入③，得3×5+2y＝19，∴y＝2．把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，∴x＝3．∴方程组的解为；（2），把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，∴xy＝2．把xy＝2代入②，得2x2+2+8y2＝36，∴x2+4y2＝17，∴x2+4xy+4y2＝17+8，即（x+2y）2＝25，∵x＞0，y＞0，∴x+2y＝5，∵（）2，∴±．18．（2020•浙江自主招生）已知正实数x，y，z满足方程组求该方程组的所有实数解．【思路点拨】令x≥y，根据二次根式的性质和分母有理化的知识进行化简即可．【解题过程】解：不妨令x≥y，有，得，∴z≥x，∴z≥y，∴，得，∴y≥x，∴y＝x，