江西省九江市湖口县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江西省九江市湖口县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0的解的情况是（ ）
A．无法确定B．无实数根
C．两个相等的实根D．两个不相等的实根
3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A．B．C．5D．4
4．一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为2，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
8．同时掷两枚形状、大小、质地完全相同的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 ．
9．如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（0，4），则点B的坐标为 ．
10．若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣x1+2x2的值为 ．
11．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 ．
12．无论x取何整数，的值都是整数，则m的值为 ．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x＝3；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5．
14．一农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长15m），另三边用木栏围成，木栏的长为30m，若养鸡场的面积能达到100m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
16．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
17．在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果＝，求的值．
19．某校合唱团组织开展“百人唱红歌”活动，需要发展新合唱团成员，A、B、C、D四名同学均报名参加了应聘，其中A、B来自七年级，C、D来自八年级，张老师、王老师现对这四名同学进行面试．
（1）若张老师随机抽取一名同学进行面试，恰好抽到C的概率为 ；
（2）若以上四位同学随机平均分配到以上两位老师处进行面试，每位老师各面试两人，请用列表法或树状图求来自七年级的AB两位同学在同一位老师处面试的概率．
20．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．某店用61元/千克购进一定数量的A产品，起初每千克售价为100元，但连续两次降价后，现在每千克售价81元
．
（1）求这两次降价的平均百分率；
（2）若按现价销售，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．
22．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
六、解答题（共12分）
23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∴（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数；
（2）知识迁移：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
参考答案
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
2．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0的解的情况是（ ）
A．无法确定B．无实数根
C．两个相等的实根D．两个不相等的实根
【分析】由直线y＝x+a不经过第二象限知a＜0，继而知Δ＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，据此可得答案．
解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a＜0，
∴Δ＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
则关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实根，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A．B．C．5D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝是解此题的关键．
4．一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为2，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2代入方程x2﹣mx﹣2可得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝2代入方程得4﹣2m﹣2＝0，、
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．
解：由图知，若设方砖的边长为a，
则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为×2a×3a＝3a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵S△ACD＝×AC×CD＝×AD×CE，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则这个三角形的周长为 7 ．
【分析】首先从方程x2﹣8x+12＝0中，确定第三边的边长为2或6；其次考查2，2，3或2，6，3能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
解：由方程x2﹣8x+12＝0，得：
解得x＝2或x＝6，
当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是2时，三角形的周长为2+2+3＝7．
故答案是：7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
8．同时掷两枚形状、大小、质地完全相同的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能的结果数和至少有一枚骰子的点数是3的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：列表如下：
共有36种等可能的结果，其中至少有一枚骰子的点数是3的结果有11种，
∴至少有一枚骰子的点数是3的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率＝．
9．如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（0，4），则点B的坐标为 （﹣3，0） ．
【分析】本题可根据菱形的四边相等的性质以及菱形的周长可求出边长的值，再根据勾股定理即可求出OB的长，进而可求出点B的坐标．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵菱形ABCD是周长为20，
∴AB＝×20＝5，
∵点A的坐标是（0，4），
∴AO＝4，
∴BO＝，
∴点B的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质以及勾股定理．在直角坐标系中，运用菱形的性质，四边相等，对角线互相垂直平分，根据点的坐标确定相关线段的长度，运用勾股定理求解．
10．若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣x1+2x2的值为 7 ．
【分析】根据题意可知，x1+x2＝3，然后根据方程解的定义得到x12＝3x1+1，然后整体代入x12﹣x1+2x2计算即可．
解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，
∵x1是方程x2﹣3x﹣1＝0的实数根，
∴x12﹣3x1﹣1＝0，
∴x12＝3x1+1，
∴x12﹣x1+2x2
＝3x1+1﹣x1+2x2
＝1+2（x1+x2）
＝1+2×3
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解答此题的关键．
11．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 10 ．
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，再通过两三角形的相似比可求出AB的长．
解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝4，AE＝5，BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出△ABC∽△AED，是一道基础题．
12．无论x取何整数，的值都是整数，则m的值为 1或9 ．
【分析】根据二次根式的性质与化简方法得出x2﹣（m﹣3）x+m是完全平方式，设出这个完全平方式得到x2﹣（m﹣3）x+m＝（x+n）2，进而求出n的值，再代入求出m的值即可．
解：∵无论x取何整数，的值都是整数，
∴x2﹣（m﹣3）x+m是完全平方式，
设x2﹣（m﹣3）x+m＝（x+n）2，则x2﹣（m﹣3）x+m＝x2+2nx+n2，
∴2n＝﹣（m﹣3）且n2＝m，
∴n2＝3﹣2n，
即n2+2n﹣3＝0，
解得n＝﹣3或n＝1，
当n＝﹣3时，m＝n2＝9，
当n＝1时，m＝n2＝1，
∴m＝1或m＝9，
故答案为：1或9．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x＝3；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5．
【分析】（1）先移项，根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后利用公式法即可解答此方程．
解：（1）x2+2x＝3，
x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x+3）（2﹣x）＝5，
x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
解得，x1＝，x2＝．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
14．一农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长15m），另三边用木栏围成，木栏的长为30m，若养鸡场的面积能达到100m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
【分析】设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，根据养鸡场的面积为100m2，即可得出关于x的一元二方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15m，即可确定结论．
解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
依题意得：x（30﹣2x）＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞15，不符合题意，舍去；
当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜15，符合题意．
答：养鸡场的长为10m，宽为10m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
【分析】四边形ABCD是矩形，∠A＝∠D＝90°，而∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，所以△AEB∽△DFE，即可根据相似三角形的对应边成比例求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，
∴△AEB∽△DFE，
∴＝，
∴DF＝＝＝3，
∴EF＝＝＝，
∴EF的长是．
【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质，证明△AEB∽△DFE是解题的关键．
16．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程表示出根的判别式，判断根的判别式大于等于0即可得证；
（2）把x＝1代入方程求出m的值，进而确定出方程，求出另一根即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：把x＝1代入方程得：1﹣m+2m﹣4＝0，
解得：m＝3，
把m＝3代入得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了根的判别式，以及方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与解的关系是解本题的关键．
17．在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．
【分析】（1）连接AC和BD，它们的交点为O，延长EO并延长交AD于M，则M点为所作；
（2）连接CE交BD于点N，则N点为所作．
解：（1）如图1，M点就是所求作的点：
（2）如图2，点N就是所求作的点：
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果＝，求的值．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质结合＝可得出AE＝EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，利用相似三角形的性质可得出GE＝GA＝AE，代入AE＝EF即可得出＝．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝．
又∵BC＝BE+CE，＝，
∴BE＝BC＝DA，
∴EF＝AF，
∴AE＝EF＝EF．
∵CE∥AD，
△CEG∽DAG，
∴＝＝，
∴GE＝GA，
∴GE＝AE＝×EF＝EF，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE＝EF及GE＝AE是解题的关键．
19．某校合唱团组织开展“百人唱红歌”活动，需要发展新合唱团成员，A、B、C、D四名同学均报名参加了应聘，其中A、B来自七年级，C、D来自八年级，张老师、王老师现对这四名同学进行面试．
（1）若张老师随机抽取一名同学进行面试，恰好抽到C的概率为 ；
（2）若以上四位同学随机平均分配到以上两位老师处进行面试，每位老师各面试两人，请用列表法或树状图求来自七年级的AB两位同学在同一位老师处面试的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中来自七年级的AB两位同学在同一位老师处面试的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若张老师随机抽取一名同学进行面试，恰好抽到C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中来自七年级的AB两位同学在同一位老师处面试的结果有4种，
∴来自七年级的AB两位同学在同一位老师处面试的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，CE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
【分析】（1）两条全等三角形的性质证明AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，可得结论；
（2）延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H，利用面积法求出TH，再利用勾股定理求出CT，由PC+PE＝PT+PC≥CT，可得结论．
【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝OC，
∵AD∥CB，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：延长BA交ED的延长线于点T，连接CT，PT，过点T作TH⊥BE于点H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，
∴OD＝OB＝＝＝2，
∵AC∥ET，BO＝OD，
∴BA＝AT，BC＝CT，
∴BE＝BT＝10，DT＝DE＝2，
∴TE＝4，
∵TH⊥BE，
∴S△BET＝×BE×TH＝×ET×BD，
∴TH＝＝8，
∴EH＝＝＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝1，
∴CT＝＝＝，
∵BD⊥TE，DT＝DE，
∴PE＝PT，
∴PC+PE＝PT+PC≥CT＝，
∴PC+PE的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．某店用61元/千克购进一定数量的A产品，起初每千克售价为100元，但连续两次降价后，现在每千克售价81元
．
（1）求这两次降价的平均百分率；
（2）若按现价销售，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元，设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值．
【分析】（1）设这两次降价的平均百分率为a，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣这两次降价的平均百分率）2，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）当每千克A产品涨价x元（x＞0）时，每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出（120﹣5x）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设这两次降价的平均百分率为a，
依题意得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a1＝0.1＝10%，a2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次降价的平均百分率为10%；
（2）∵每千克A产品涨价x元（x＞0），
∴每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出120﹣×10＝（120﹣5x）千克．
依题意得：（20+x）（120﹣5x）＝2340，
依题意得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
答：x的值为6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．
解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
六、解答题（共12分）
23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∴（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数；
（2）知识迁移：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【分析】（1）配方求最值．
（2）先求s，再配方求最值．
【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
∵（x﹣2）2≥0．
∴y≥0+3＝3．
∴y＞0．
∴y是正数．
（2）∵AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）
∴S＝PC•CQ．
＝（6﹣2t）•t
＝﹣t2+3t
＝﹣（t2﹣3t）
＝﹣（t﹣）2+．
∵（t﹣）2≥0．
∴t＝S最大值＝．
【点评】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．