江西省九江市永修县2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份江西省九江市永修县2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省九江市永修县九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣1＝0
B．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）
C．x2+x＝3
D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
3．解方程x2＝4的结果为（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）


A．当AB＝BC时，它是正方形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，则b+c的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
6．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上．若AD＝1，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．把一元二次方程x（x﹣3）＝4化成ax2+bx+c＝0的一般形式，其中a＝1，则常数项c＝　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为 　 　．

9．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
10．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别为m与2m﹣6，则m的值为 　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是　 　．

12．如图，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，点E在边AB上，AE＝13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2，求CD的长．

15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．求证：AC＝CE．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．

17．如图，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，点B，C，E在同一直线上，且E是BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作▱ABMC；
（2）在图2中，作正方形ACBN．

18．如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．设关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝1，c＝2；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝﹣3，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是 　 　．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
（2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
21．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE＝DF．添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC．
（1）你添加的条件是 　 　（填序号），并证明．
（2）在（1）的条件下，若∠A＝45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．【阅读】
解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”
【应用】
（1）若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：　 　．
（2）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）﹣2＝0．
23．如图1，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEFG是矩形．
（2）如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．

六、解答题（本大题共12分）
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF，DF．图中的全等三角形有 　 　（写出一对即可，不必证明）．
（2）如图2，P为DF延长线上一点，且BP⊥BF，DP交BC于点E．判断△BPE的形状．并说明理由．
（3）如图3，过点F作HF⊥BF交DC的延长线于点H．
①求证：HF＝DF．
②若，请直接写出CH的长．



参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣1＝0
B．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）
C．x2+x＝3
D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程判断即可．
解：A．方程3x﹣1＝0不是一元二次方程，故本项不符合题意；
B．方程ax2+bx+c＝0当a＝0时不是一元二次方程，故本项不符合题意；
C．方程x2+x＝3符合定义，是一元二次方程，故本项符合题意；
D．方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
解：A、菱形具有对角线互相垂直平分，平行四边形具有对角线互相平分，符合题意；
B、菱形具有对边相等，平行四边形具有对边相等，不符合题意；
C、菱形具有对角相等，平行四边形具有对角相等，不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
3．解方程x2＝4的结果为（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4
【分析】两边直接开平方即可．
解：∵x2＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）


A．当AB＝BC时，它是正方形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项A错误，符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，故选项B正确，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项C正确，不符合题意；
当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，则b+c的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】由关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，可得c+b+1＝0，然后移项变形即可得解．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有一个非零实数根c，
∴c2+bc+c＝0，即c（c+b+1）＝0
∵c≠0，
∴c+b+1＝0，
∴b+c＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本题的关键．
6．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上．若AD＝1，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由第一次折叠可知∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，则四边AMA′D为正方形，AM＝A′M＝AD，，由第二次折叠可知∠BMC＝∠B′MC，利用平行线的性质得∠DCM＝∠BMC，于是可得∠B′MC＝∠DCM，由等边对等角得，以此即可求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC．
由第一次折叠可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，
∴四边形AMA′D为正方形，
∴AM＝A′M＝AD，
∴．
由第二次折叠可知，∠BMC＝∠B′MC，
∵BM∥CD，
∴∠DCM＝∠BMC，
∴∠B′MC＝∠DCM，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．把一元二次方程x（x﹣3）＝4化成ax2+bx+c＝0的一般形式，其中a＝1，则常数项c＝　﹣4　．
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
解：x（x﹣3）＝4，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∵a＝1，
∴常数项c＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0）其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为 　50°　．

【分析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠ADB＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别为m与2m﹣6，则m的值为 　2　．
【分析】根据题意可得m+2m﹣6＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
m+2m﹣6＝0，
3m＝6，
m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是　（﹣1，2）　．

【分析】如图，过点C作CD⊥x轴，过点A作AE⊥x轴，由“AAS”可证△AOE≌△OCD，可得DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，即可求解．
解：如图，过点C作CD⊥x轴，过点A作AE⊥x轴，

∵点A的坐标是（2，1），
∴AE＝1，OE＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，且∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠COD＝∠OAE，且AO＝CO，∠AEO＝∠CDO＝90°，
∴△AOE≌△OCD（AAS）
∴DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，点E在边AB上，AE＝13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是 　13或13或5　．

【分析】过点D作DH⊥AB于H，可求得AH＝DH＝10，分四种情况：当点P在AD边上时，若AP＝AE，若PE＝AE，可分别求得AP的长；当点P在CD边上时，AP＞PE＞AE，不可能为等腰三角形；当点P在BC边上，且PE＝AE＝13时，可求得AP＝5．
解：过点D作DH⊥AB于H，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝20，∠A＝45°，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝20，
∴AH＝DH＝AD＝10＞13，
又点E在边AB上，AE＝13，
当点P在AD边上时，
若AP＝AE，则AP＝13；
若PE＝AE，则∠APE＝∠A＝45°，
∴∠AEP＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝AE＝13；
当点P在CD边上时，AP＞PE＞AE，不可能为等腰三角形；
当点P在BC边上，且PE＝AE＝13时，如图，过点P作PG⊥AB于G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠PBG＝∠A＝45°，
∴△PBG是等腰直角三角形，
∴PG＝BG，
设PG＝BG＝y，
则EG＝y+7，
∵EG2+PG2＝PE2，
∴（y+7）2+y2＝132，
解得：y＝5（负值舍去），
∴PG＝5，AG＝25，
∴AP＝＝＝5；
综上所述，AP的长为13或13或5．
故答案为：13或13或5．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
开方得：，
∴，．
【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择．本题考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝（b2﹣4ac≥0）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2，求CD的长．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出2BC＝AB即可得解．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴CD＝B＝×4＝2，
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．求证：AC＝CE．

【分析】根据矩形的性质可以得到AC＝BD，根据平行四边形的判定和性质可以得到BD＝CE，从而可以得到AC＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，AB∥DC，
∴BE∥DC，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE，
∴AC＝CE．
【点评】本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出BD＝CE．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长．

【分析】由四边形ABCD是菱形，OB＝2，根据菱形的性质可得BD＝4，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC＝2，再根据勾股定理求得BC，进而利用面积即可求得AE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝2OB＝4．
∵，
∴AC＝2，
∴OC＝1，
∴．
∵S菱形ABCD＝BC⋅AE＝4，
∴．
【点评】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC＝2是解题的关键．
17．如图，△ACB和△CED都是等腰直角三角形，点B，C，E在同一直线上，且E是BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作▱ABMC；
（2）在图2中，作正方形ACBN．

【分析】（1）延长AE和CD，它们的交点为M点，则四边形ABMC满足条件；
（2）延长DE交AB于O点，然后分别延长CO和MB，它们相交于点N，则四边形ACBN满足条件．
解：（1）如图1，▱ABMC为所作；
（2）如图2，正方形ACBN为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和正方形的判定．
18．如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度．

【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设绿地的长、宽增加的长度各为xm，
由题意得：（12+x）（9+x）＝12×9+72，
整理得：x2+21x﹣72＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣24（不符合题意，舍去），
答：绿地长、宽增加的长度各为3m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．设关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝1，c＝2；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝﹣3，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
解：∵这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，
∴b2＞4c，
选①②时，不符合，
∴③④均可．
选③解方程，则这个方程为 x2+3x﹣1＝0，
∴，
∴，；
选④解方程，则这个方程为 x2﹣3x+2＝0，
∴，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
（1）下面方程是“完美方程”的是 　③　．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
（2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可；
（2）根据“完美方程”的定义得到n＝m﹣3，则原方程为3x2+mx+m﹣3＝0，再由m是此“完美方程”的一个根，得到4m2+m﹣3＝0，解方程即可．
解：（1）①x2﹣4x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴a+c＝4≠b，则方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；
②2x2+x+3＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝3，
∴a+c＝5≠b，则方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”；
③2x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴a+c＝b，则方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；
故答案为：③．
（2）∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，
∴m＝3+n，
∴n＝m﹣3，
∴原方程为3x2+mx+m﹣3＝0．
∵m是此“完美方程”的一个根，
∴3m2+m2+m﹣3＝0，即4m2+m﹣3＝0，
解得：m＝﹣1或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
21．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE＝DF．添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC．
（1）你添加的条件是 　②　（填序号），并证明．
（2）在（1）的条件下，若∠A＝45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长．

【分析】（1）可证△CFD≌△CEB，可得CD＝CB，即可求证；
（2）连接CP，可证Rt△CEP≌Rt△CFP，可得PE＝PF，再证BE＝CE，BF＝PF，即可求解．
解：（1）②．
证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°，
在△CFD和△CEB中
，
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴CD＝CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，连接CP，

由（1）知△CFD≌△CEB，
∴CF＝CE，
在Rt△CEP和Rt△CFP
，
∴Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），
∴PE＝PF，
在菱形ABCD中，∠A＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∵∠CFD＝∠CEB＝90°，
∴∠BFP＝∠DEP＝90°，
∴∠CBE＝∠BPF＝∠BCD＝45°，
∴BE＝CE，BF＝PF，
∵△BFP的周长为4，
∴BP+PF+BF
＝BP+PE+BF
＝BE+BF
＝CE+BF
＝CF+BF
＝BC＝4．
即菱形的边长为4．
【点评】本题考查了菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．【阅读】
解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”
【应用】
（1）若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：　y2﹣3＝0　．
（2）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）﹣2＝0．
【分析】（1）将原方程变形为只含有的形式，再将代入，化为整式方程即可；
（2）根据“整体换元法”，设y＝2x﹣3，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．
解：（1），
变形为：，
则可化为：，即y2﹣3＝0，
故答案为：y2﹣3＝0；
（2）设y＝2x﹣3，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，
∴（y﹣2）（y+1）＝0，
∴y﹣2＝0或y+1＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝2时，即2x﹣3＝2，解得；
当y＝﹣1时，即2x﹣3＝﹣1，解得x＝1．
∴原方程的解为．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键．
23．如图1，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEFG是矩形．
（2）如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝CB，AD∥CB，从而得出∠DAE＝∠BCF，推出△ADE≌△CBF（SAS），得到∠AED＝∠CFB．再证出DE∥GF，从而得到最后结果；
（2）先证得DEBF是平行四边形，得出DF∥BE，从而得出∠AFD＝∠BEF．进一步得出∠AFD＝∠DFG．最后可得出DEFG是正方形．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF．
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
∵∠AFG＝∠CFB，
∴∠AED＝∠AFG，
∴DE∥GF．
∵DG∥AC，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴四边形DEFG是矩形．
（2）四边形DEFG是正方形．
理由：由（1）知DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴∠AFD＝∠BEF．
∵∠DFG＝∠BEF，
∴∠AFD＝∠DFG．
在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形．
【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质及判定、矩形的性质与判定、正方形的判定和性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会特殊四边形的有关性质及判定．
六、解答题（本大题共12分）
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF，DF．图中的全等三角形有 　△ADF≌△ABF　（写出一对即可，不必证明）．
（2）如图2，P为DF延长线上一点，且BP⊥BF，DP交BC于点E．判断△BPE的形状．并说明理由．
（3）如图3，过点F作HF⊥BF交DC的延长线于点H．
①求证：HF＝DF．
②若，请直接写出CH的长．

【分析】（1）先证明AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，结合AF＝AF，从而可得结论；
（2）先证明∠CDE+∠CED＝90°，由（1）同理可得：△CDF≌△CBF，可得∠CDE＝∠CBF，则∠CBF+∠CED＝90°，再证明∠CBF+∠PBE＝90°，可得∠CED＝∠PBE，可得∠PBE＝∠PEB，可得PE＝PB，从而可得答案；
（3）①如图，过点F分别作FM⊥BC，FN⊥CD，垂足分别为M，N，证明CN＝CM，四边形FMCN是正方形，再证明△FNH≌△FMB（ASA），可得HF＝BF，结合DF＝BF，可得结论；
②先证明∠CDF＝∠CBF＝30°，设CN＝x，则FN＝x，DF＝2NF＝2x，，建立方程，从而可得答案．
【解答】（1）解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，而AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
故答案为：△ADF≌△ABF；
（2）解：△BPE为等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝90°．
由（1）同理可得：△CDF≌△CBF，
∴∠CDE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠CED＝90°．
∵BP⊥BF，
∴∠CBF+∠PBE＝90°，
∴∠CED＝∠PBE．
∵∠CED＝∠PEB，
∴∠PBE＝∠PEB，
∴PE＝PB，
∴△BPE为等腰三角形．
（3）①证明：如图，过点F分别作FM⊥BC，FN⊥CD，垂足分别为M，N．
∴∠FNC＝∠FMC＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，而FM⊥BC，FN⊥CD，
∴CN＝CM，四边形FMCN是正方形，
∴FM＝FN，∠MFN＝90°．
∵HF⊥BF，
∴∠HFB＝90°，
∴∠HFN＝∠BFM．
又∵∠FNH＝∠FMB＝90°，
∴△FNH≌△FMB（ASA），
∴HF＝BF．
∵△CDF≌△CBF，
∴DF＝BF，
∴HF＝DF．
②解：∵△CDF≌△CBF，
∴∠CDF＝∠CBF＝30°，
设CN＝x，则FN＝x，
∴DF＝2NF＝2x，，
∴，
∴x＝1．
∵DF＝HF，FN⊥CD，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练的利用正方形的性质进行证明是解本题的关键．